質(zhì)數(shù)規(guī)律
質(zhì)數(shù)分布有沒(méi)有規(guī)律？ - 知乎
質(zhì)數(shù)分布有沒(méi)有規(guī)律？ - 知乎首頁(yè)知乎知學(xué)堂發(fā)現(xiàn)等你來(lái)答?切換模式登錄/注冊(cè)數(shù)學(xué)數(shù)論素?cái)?shù)解析數(shù)論素?cái)?shù)定理質(zhì)數(shù)分布有沒(méi)有規(guī)律？哪位大神能談?wù)勝|(zhì)數(shù)有啥分布規(guī)律。像費(fèi)馬平方和定理算不算一個(gè)質(zhì)數(shù)分布規(guī)律。顯示全部 ?關(guān)注者97被瀏覽189,756關(guān)注問(wèn)題?寫(xiě)回答?邀請(qǐng)回答?好問(wèn)題 9?10 條評(píng)論?分享?40 個(gè)回答默認(rèn)排序TravorLZH?數(shù)學(xué)話題下的優(yōu)秀答主? 關(guān)注規(guī)律必然是有的，而且素?cái)?shù)分布問(wèn)題一直位于數(shù)學(xué)研究的前沿。若用log表示自然對(duì)數(shù)、π(x)表示不超過(guò)x的素?cái)?shù)之?dāng)?shù)量，則根據(jù)素?cái)?shù)定理有：\lim_{x\to\infty}{\pi(x)\log x\over x}=1 現(xiàn)在對(duì)兩側(cè)取對(duì)數(shù)，得：\lim_{x\to\infty}{\log\pi(x)+\log\log x-\log x}=0 現(xiàn)在對(duì)兩側(cè)同時(shí)除以log x，得：\lim_{x\to\infty}{\log\pi(x)\over\log x}=1 現(xiàn)在再根據(jù)素?cái)?shù)定理，可得：1=\lim_{x\to\infty}{\log\pi(x)\over\log x}\cdot\lim_{x\to\infty}{\pi(x)\log x\over x}=\lim_{x\to\infty}{\pi(x)\log\pi(x)\over x} 現(xiàn)在用 p_n 表示第n個(gè)素?cái)?shù)，則由定義可知 \pi(p_n)=n 。由于有無(wú)窮個(gè)素?cái)?shù)，我們也知道 \lim_{n\to\infty}p_n=\infty 。所以我們現(xiàn)在可以根據(jù)海涅定理，把上述函數(shù)極限改成數(shù)列極限，即：\lim_{n\to\infty}{n\log n\over p_n}=1 所以第n個(gè)素?cái)?shù)的大小漸近于 n\log n 。換句話說(shuō)，對(duì)于每一個(gè) \varepsilon>0 均存在足夠大的N使得第n>N個(gè)素?cái)?shù)的大小滿(mǎn)足如下不等式：(1-\varepsilon)n\log n [數(shù)學(xué)科普] 質(zhì)數(shù)的通項(xiàng)公式 - 知乎切換模式寫(xiě)文章登錄/注冊(cè)[數(shù)學(xué)科普] 質(zhì)數(shù)的通項(xiàng)公式DeePhy??中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息與通信工程博士搬運(yùn)自 Simple Formula Makes Prime Numbers Easy, but a Million-Dollar Mystery Remains | Scientific American，侵刪。關(guān)于質(zhì)數(shù)的重要數(shù)學(xué)問(wèn)題，除了黎曼猜想還有很多。例如，哥德巴赫猜想證明任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和（如4 = 2 + 2，6 = 3 + 3，8 = 3 + 5等）。令人驚訝的是，關(guān)于質(zhì)數(shù)的許多謎題仍然存在，畢竟已經(jīng)存在多個(gè)計(jì)算質(zhì)數(shù)的公式?？死锼雇懈ァね柖魉?Willans)提出了一種“質(zhì)數(shù)生成器”的公式，用于計(jì)算第n個(gè)質(zhì)數(shù)。這個(gè)函數(shù)，記作p(n)，對(duì)于任何n的值，都會(huì)給出第n個(gè)質(zhì)數(shù)。例如，當(dāng)n = 5時(shí)，這個(gè)公式返回p(5) = 11，因?yàn)?1是第五個(gè)質(zhì)數(shù)。這個(gè)公式應(yīng)該能夠解決關(guān)于質(zhì)數(shù)的所有謎題，對(duì)嗎？并非完全如此。威爾恩斯公式的思想是首先找到一個(gè)能夠檢測(cè)質(zhì)數(shù)的函數(shù)，我們稱(chēng)之為f(x)。如果檢測(cè)器有效，該函數(shù)在每次檢測(cè)到一個(gè)質(zhì)數(shù)時(shí)會(huì)給出1。否則，該函數(shù)會(huì)給出0，表示未檢測(cè)到任何質(zhì)數(shù)。[了解更多關(guān)于質(zhì)數(shù)的研究]一旦你有了這個(gè)質(zhì)數(shù)檢測(cè)函數(shù)f(x)，你就可以將其轉(zhuǎn)化為質(zhì)數(shù)生成器p(n)。根據(jù)檢測(cè)器構(gòu)建生成器假設(shè)你已經(jīng)找到了質(zhì)數(shù)檢測(cè)函數(shù)f(x)。借助它的幫助，你可以推斷出給定區(qū)間內(nèi)的質(zhì)數(shù)數(shù)量。例如，如果你將 f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(10) 的值相加，結(jié)果將是0到10之間所有質(zhì)數(shù)的數(shù)量，即4個(gè)（該區(qū)間內(nèi)的質(zhì)數(shù)是2、3、5和7）。你可以更詳細(xì)地觀察關(guān)于 f 的每個(gè)加和項(xiàng)：f(1) = 0,\\ f(1) + f(2) = 1,\\ f(1) + f(2) + f(3) = 2,\\ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2,\\ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 3,\\ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 3,\\ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 4... 這個(gè)原理可以推廣。第n個(gè)質(zhì)數(shù)是使得 f(1) + f(2) + ... + f(x) = n 的最小的自然數(shù) x 。這意味著，如果你能用一個(gè)函數(shù)表達(dá)這個(gè)過(guò)程，并且這個(gè)函數(shù)可以給出所求的值x，那么你就創(chuàng)建了一個(gè)質(zhì)數(shù)生成器。首先，引入另一個(gè)輔助函數(shù) g(x) ，對(duì)應(yīng)于和 f(1) + ... + f(x) 。因此：g(1) = f(1) = 0,\\ g(2) = f(1) + f(2) = 1,\\ g(3) = f(1) + f(2) + f(3) = 2,\\ g(4) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2,\\ g(5) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 3,\\ g(6) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 3,\\ g(7) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 4 ... 因此，回到尋找第四個(gè)（或更一般的第n個(gè)）質(zhì)數(shù)的問(wèn)題，你需要計(jì)算有多少個(gè)x的值滿(mǎn)足 g(x) 小于4（或n）。通過(guò)這種方式，你將得到你要尋找的第四個(gè)（或第n個(gè)）質(zhì)數(shù)的值。事實(shí)上，有一個(gè)函數(shù)正好可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)。雖然它看起來(lái)很復(fù)雜：\sum_{i=1}^{2^n}\left\lfloor\left(\frac{n}{g(i)+1}\right)^{\frac{1}{n}}\right\rfloor+1\\方括號(hào)?*?表示將內(nèi)部的值向下取整。所以，例如，? 1.7 ? = 1，? 1.12111167545 ? = 1。在這種情況下，方括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)似乎更復(fù)雜一些。為了更好地理解它，請(qǐng)看一下這個(gè)對(duì)應(yīng)的圖形，它繪制了該項(xiàng)的圖像，假設(shè)i=4，而n是變量：你現(xiàn)在可以看到的是，無(wú)論 n 多大或多小，方括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)都取值在 0 到 1 或 1 到 2 之間。因此，帶有方括號(hào)的表達(dá)式返回 0 或 1。事實(shí)上，只要 g ( i ) 小于 n，結(jié)果始終為 1。另一方面，一旦 g ( i ) 等于 n 或超過(guò) n，則結(jié)果將為 0。外部總和僅用于累加貢獻(xiàn)。因此，如果您評(píng)估 n = 4 的公式以獲取第四個(gè)質(zhì)數(shù)，則會(huì)得到以下結(jié)果：\sum_{i=1}^{16}\left\lfloor\left(\frac{4}{g(i)+1}\right)^{\frac{1}{4}}\right\rfloor+1=1+1+1+1+1+1+0+\ldots+0+1=7\\這不僅適用于 n = 4，而且適用于任何 n。通過(guò)使用這個(gè)公式，你總是可以得到第 n 個(gè)質(zhì)數(shù)。但到目前為止，我們討論的前提是假設(shè)存在一個(gè)質(zhì)數(shù)檢測(cè)器 f(x) ，幸運(yùn)的是這個(gè)表達(dá)式也是顯示存在的，f(x)=\left\lfloor\cos ^2\left(\pi \frac{(x-1) !+1}{x}\right)\right\rfloor\\因?yàn)槠椒接嘞抑环祷?和1之間的值，這保證了 f(x) 只能是0或1，這正是我們?cè)跈z測(cè)器函數(shù)中所需的。但是對(duì)于哪些x值，f(x)=0，對(duì)于哪些值函數(shù)等于1，這需要考慮余弦函數(shù)的參數(shù)： π x [(x-1)!+1]?x ，其中感嘆號(hào)表示階乘，它將所有自然數(shù)乘以階乘前的數(shù)字。選擇x不同的值并計(jì)算 π x [(x-1)!+1]?x ，則會(huì)得到以下結(jié)果：注意到規(guī)律了嗎？如果x是一個(gè)質(zhì)數(shù)，那么結(jié)果是π的整數(shù)倍；否則就不是。對(duì)于所有的x都成立。這個(gè)定理在歷史上已經(jīng)被證明了多次。雖然它以數(shù)學(xué)家約翰·威爾遜的名字命名，他在18世紀(jì)提出了這個(gè)猜想，而Joseph-Louis Lagrange于1771年就已經(jīng)證明。但他遠(yuǎn)非第一個(gè)證明它的人。事實(shí)上，阿拉伯學(xué)者Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham在1000年左右就提出了相應(yīng)的猜想。百萬(wàn)美元大獎(jiǎng)仍未被領(lǐng)取威爾遜定理可以用來(lái)構(gòu)建一個(gè)檢測(cè)器：整數(shù)倍的π的余弦總是產(chǎn)生1或-1，而余弦函數(shù)的所有其他參數(shù)則產(chǎn)生小于1的結(jié)果。這完成了質(zhì)數(shù)探測(cè)器。通過(guò)對(duì)平方余弦函數(shù)取整（通過(guò)方括號(hào)），f(x)在x為質(zhì)數(shù)時(shí)返回所需的值1，否則返回0。通過(guò)將迄今為止獲得的所有信息匯總，可以給出一個(gè)實(shí)用的計(jì)算質(zhì)數(shù)的公式：p_n=1+\sum_{j=1}^{2^n}\left\lfloor\left(\frac{n}{\sum_{j=1}^i\left\lfloor\cos ^2\left(\pi \frac{(j-1) !+1}{j}\right)\right\rfloor}\right)^{\frac{1}{n}}\right\rfloor\\請(qǐng)隨意嘗試一下。如果你想計(jì)算第五個(gè)質(zhì)數(shù)，你只需要將n = 5代入公式，你就會(huì)得到正確的結(jié)果11。事實(shí)上，這個(gè)方程是在1964年由某個(gè)名叫C. P. Willans的人發(fā)表的。關(guān)于Willans的身份細(xì)節(jié)至今仍然未知。他沒(méi)有撰寫(xiě)其他技術(shù)文章。但我們可以假設(shè)Willans并沒(méi)有因?yàn)檫@個(gè)公式而成為百萬(wàn)富翁。那時(shí)千禧年獎(jiǎng)還不存在，而且他的公式也無(wú)法回答與質(zhì)數(shù)相關(guān)的任何重要數(shù)學(xué)問(wèn)題。如果你嘗試使用這個(gè)公式，你可能已經(jīng)注意到了主要問(wèn)題。這些計(jì)算非常復(fù)雜。即使是計(jì)算機(jī)也很難計(jì)算這個(gè)公式，尤其是對(duì)于較大的n值。除了其他問(wèn)題，階乘也是問(wèn)題的一部分：值很快變得非常大，計(jì)算需要大量的計(jì)算能力。如果你想計(jì)算巨大的質(zhì)數(shù)，你將會(huì)超負(fù)荷使用全球每臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)。發(fā)布于 2023-11-26 20:23?IP 屬地廣東數(shù)學(xué)解析素?cái)?shù)?贊同 8??添加評(píng)論?分享?喜歡?收藏?申請(qǐng) 奇妙的素?cái)?shù)（1） ——素?cái)?shù)定理 - 知乎首發(fā)于數(shù)字人生切換模式寫(xiě)文章登錄/注冊(cè)奇妙的素?cái)?shù)（1） ——素?cái)?shù)定理劉升平學(xué)數(shù)學(xué)的，但忘的差不多回小學(xué)了。素?cái)?shù)的作用很大，我們生活中息息相關(guān)，素?cái)?shù)的謎團(tuán)也很大，一直期待人們完全揭開(kāi)。 網(wǎng)絡(luò)中不但有很多“民科”物理學(xué)家，“民科”化學(xué)家，也活躍著很多“民科”數(shù)學(xué)家，當(dāng)然這里指的“民科”是那些沒(méi)有經(jīng)過(guò)正規(guī)的專(zhuān)業(yè)知識(shí)培養(yǎng)，全憑三分鐘熱血，就腦洞大開(kāi)的胡思亂想的人士。 素?cái)?shù)又被稱(chēng)為質(zhì)數(shù)，就是大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)。比如2=1×2；5=1×5；23=1×23；……所以2、5和23就是素?cái)?shù)。但6=1×6=2×3，即6除了1和自身6外還有其他因數(shù)2和3；8=1×8=2×4，所以8也不是素?cái)?shù)。依此定義2，3，5，7，11，13，17，19……都是素?cái)?shù)。（1）素?cái)?shù)的定義 素?cái)?shù)又被稱(chēng)為質(zhì)數(shù)，就是大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)。比如2=1×2；5=1×5；23=1×23；……所以2、5和23就是素?cái)?shù)。但6=1×6=2×3，即6除了1和自身6外還有其他因數(shù)2和3；8=1×8=2×4，所以8也不是素?cái)?shù)。依此定義2，3，5，7，11，13，17，19……都是素?cái)?shù)。 那素?cái)?shù)有沒(méi)有盡頭呢？就是有沒(méi)有一個(gè)最大素?cái)?shù)存在呢？歐幾里得（公元前330年~公元前275年，古希臘人，數(shù)學(xué)家）在他的經(jīng)典著作《幾何原本》里就給出了一個(gè)很巧妙的反證法證明（不想看可以略過(guò)）：（假設(shè)素?cái)?shù)是有限的，總共只有n個(gè)，最大的一個(gè)素?cái)?shù)是p，設(shè)Q為所有素?cái)?shù)之積加上1，即Q=（2×3×5×…×p）+1，顯然Q比p大，按照假設(shè)則Q不是素?cái)?shù)，那Q就應(yīng)該有除了1和自身之外的其他因數(shù)，或者說(shuō)成可以被2、3、…、p中的某一數(shù)整除，而Q不管被這2、3、…、p中哪一個(gè)數(shù)整除都會(huì)余1，這又說(shuō)明Q不能被2、3、…、p整除，互相矛盾．所以素?cái)?shù)是無(wú)限的．） 既然素?cái)?shù)是有無(wú)窮多個(gè)，那下一個(gè)問(wèn)題就是數(shù)學(xué)家想弄明白的，素?cái)?shù)的分布是否有規(guī)律呢？通過(guò)計(jì)算可以知道素?cái)?shù)越大就會(huì)越稀少，就是順著自然數(shù)數(shù)下去，當(dāng)數(shù)越來(lái)越大時(shí)，素?cái)?shù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)越來(lái)越稀少，可能連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)三個(gè)的，然后很久都不會(huì)出現(xiàn)，但最后總是會(huì)出現(xiàn)。感覺(jué)看起來(lái)毫無(wú)規(guī)律可言，所以以前的數(shù)學(xué)家估計(jì)對(duì)素?cái)?shù)的規(guī)律是充滿(mǎn)了絕望。圖中是把從1開(kāi)始的自然數(shù)螺旋排列，標(biāo)記出的就是素?cái)?shù)，這個(gè)圖越往外，數(shù)越大，素?cái)?shù)出現(xiàn)的越稀疏。（2）費(fèi)馬數(shù) 正是因?yàn)樗財(cái)?shù)的出現(xiàn)毫無(wú)規(guī)律可言，所以歷史上關(guān)于素?cái)?shù)的猜想也是很多，有正確的，也有錯(cuò)誤的，也有懸而未決的。 17世紀(jì)法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家，別看人家冠以業(yè)余的稱(chēng)呼（沒(méi)受過(guò)系統(tǒng)的專(zhuān)業(yè)教育），但他的風(fēng)光都蓋過(guò)同時(shí)代法國(guó)的專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)家了，費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)2^(2^n)+1這個(gè)形式（后人稱(chēng)為費(fèi)馬數(shù)），當(dāng)n=0,1,2,3,4時(shí)，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)是3，5，17，257，65537都是素?cái)?shù)。n=5這個(gè)數(shù)太大了，當(dāng)時(shí)的條件很難完成，于是他猜想2^(2^n)+1這個(gè)形式對(duì)應(yīng)的數(shù)都是素?cái)?shù)。后來(lái)人們算出來(lái)n=5時(shí)，這個(gè)數(shù)是4294967297=641×6700417，顯然n=5不是素?cái)?shù)，后來(lái)有了計(jì)算機(jī)后，人們通過(guò)大量的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)已知的n大于等于5對(duì)應(yīng)的數(shù)都不是素?cái)?shù)。（3）素?cái)?shù)定理把正整數(shù)用極坐標(biāo)表示時(shí)，去除素?cái)?shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，會(huì)有很奇妙的形式出現(xiàn)。后來(lái)的數(shù)學(xué)家把希望放在尋找大致的一個(gè)出現(xiàn)概率（分布密度）上，例如：1~10中有四個(gè)素?cái)?shù)2、3、5、7，素?cái)?shù)占全體數(shù)的比例是40%；1~100中有25個(gè)素?cái)?shù)，素?cái)?shù)占全體數(shù)的比例是25%；1~1000中有168個(gè)素?cái)?shù)，素?cái)?shù)占全體數(shù)的比例是16.8%；1~100萬(wàn)中有78498個(gè)素?cái)?shù)，素?cái)?shù)占全體數(shù)的比例是7.84%；前1億個(gè)數(shù)，素?cái)?shù)占全體數(shù)的比例是5.76%；前100萬(wàn)億個(gè)數(shù)，素?cái)?shù)占全體數(shù)的比例是3.2%左右，等等。函數(shù)中有這樣的一個(gè)函數(shù)y=1/ln(x)（以e為的對(duì)數(shù)的倒數(shù)，其中e≈2.71828…），x=100時(shí)，y=21.7%x=1000時(shí)，y=14.5%x=100萬(wàn)時(shí)，y=7.24%x=1億時(shí)，y=5.43%x=100萬(wàn)億時(shí)，y=3.1%N越來(lái)越大，兩個(gè)數(shù)的相對(duì)差距也越來(lái)越小。 感覺(jué)是不是越來(lái)越接近，其實(shí)當(dāng)x繼續(xù)變大時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的差距越來(lái)越小，最后這個(gè)差趨于0。后來(lái)經(jīng)過(guò)歐拉、高斯、黎曼等等很多光環(huán)加身的大數(shù)學(xué)家不斷完善和發(fā)展，一直到19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家才證明了與此相關(guān)的著名的“素?cái)?shù)定理”。 介紹這個(gè)定理前，首先定義一個(gè)π(x)符號(hào)，就是表示小于或等于自然數(shù)x的所有素?cái)?shù)個(gè)數(shù)，例如通過(guò)前面介紹的可知道 π(100)=25，π(1000)=168 去除極限寫(xiě)法，這個(gè)定理的簡(jiǎn)單表示就是：當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí)，π(x)和x /ln(x)這兩個(gè)數(shù)的比值趨于1 人們欣喜若狂的發(fā)現(xiàn)，一個(gè)看似雜亂無(wú)章的素?cái)?shù)，其密度分布竟然有一個(gè)函數(shù)趨近對(duì)應(yīng)，當(dāng)然這個(gè)函數(shù)還有很粗糙的，x若不是很大很大，他們之間的差距還是不小。黎曼（波恩哈德·黎曼，公元1826~1866年，德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家）1859年給出的黎曼猜想更進(jìn)一步精確的給出了大素?cái)?shù)分布的函數(shù)表達(dá)，有興趣的可以自行百度了。黎曼猜想也是當(dāng)今數(shù)學(xué)界中非常迫切需要證明但又無(wú)人證明的猜想，若此猜想被證明，會(huì)有一大批重要的命題升級(jí)為定理，若此猜想被否定，同樣要埋葬一大批人的心血之作。發(fā)布于 2018-05-25 16:32初等數(shù)論素?cái)?shù)?贊同 57??6 條評(píng)論?分享?喜歡?收藏?申請(qǐng)轉(zhuǎn)載?文章被以下專(zhuān)欄收錄數(shù) 數(shù)論（一）質(zhì)數(shù) - 知乎切換模式寫(xiě)文章登錄/注冊(cè)數(shù)論（一）質(zhì)數(shù)小螺蠣數(shù)量這一概念應(yīng)該是人類(lèi)能夠最原始而直接地從生活中感受到的數(shù)學(xué)內(nèi)容之一了。想一想我們最早接觸到的數(shù)學(xué)應(yīng)該就是認(rèn)識(shí)數(shù)字了吧。在對(duì)自然數(shù)的研究中有一個(gè)很重要的概念，就是質(zhì)數(shù)以及與其相對(duì)應(yīng)的合數(shù)，這一回我們就來(lái)聊一聊質(zhì)數(shù)。質(zhì)因數(shù)分解在研究一個(gè)正整數(shù)時(shí)，最直接的一種方法就是將其分解(factorization)。但在分解的過(guò)程中有不同的方法，如12既可以寫(xiě)成2×6，也可以寫(xiě)成3×4。那么有沒(méi)有一種方法將其分解為唯一的形式呢？答案就是繼續(xù)分解，直到無(wú)法分解為止。根據(jù)算數(shù)基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）,所有大于1的自然數(shù)都可以被完全分解成質(zhì)數(shù)的乘積的形式。如上面的例子，12=2×6=2×2×3；或?qū)懗?2=3×4=3×2×2；我們發(fā)現(xiàn)這兩種分解方法都得到了同樣的結(jié)果。這樣無(wú)法再分解的數(shù)就是質(zhì)數(shù)，或稱(chēng)素?cái)?shù)。而那種可以繼續(xù)分解的數(shù)就是合數(shù)。這是一個(gè)比較直觀的定義。準(zhǔn)確地說(shuō)，質(zhì)數(shù)是除去1和它自身之外，再?zèng)]有其他因數(shù)的正整數(shù)。因?yàn)?的存在，任何正整數(shù)都可以寫(xiě)成1乘以其自身。說(shuō)到這里，想必讀者對(duì)質(zhì)數(shù)已有了一個(gè)直觀的了解。就像我們剛剛所說(shuō)的，質(zhì)數(shù)的定義就是想要描述那些基本的數(shù)。質(zhì)數(shù)之于合數(shù)，打個(gè)不甚恰當(dāng)?shù)谋确剑秃帽茸帜赶鄬?duì)于單詞。質(zhì)數(shù)作為基本的單位，可以合成各種合數(shù)；而任何合數(shù)都是由質(zhì)數(shù)合成而來(lái)的。質(zhì)數(shù)的英文prime number中的prime就有首要的、基本的意思。但不知為何，在漢語(yǔ)中prime number寫(xiě)成了質(zhì)數(shù)?？赡苁莗rime也有優(yōu)質(zhì)的意思吧。只能說(shuō)是中文單字命名時(shí)的一種缺陷了。而合數(shù)(composite number)就更能顧名思義了，composite即為合成的意思。質(zhì)數(shù)的特征不同于英文中的字母只有有限個(gè)這一特點(diǎn)，質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)。這一發(fā)現(xiàn)早在早在公元前就被歐幾里得(Euclid)提出：假設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)只有有限個(gè)：2，3，5，7…p，p為最大的質(zhì)數(shù)。則所有的正整數(shù)都由這些質(zhì)數(shù)合成而來(lái)，也就是所有的數(shù)都可以被2，3，5，7…p中的某些數(shù)整除，那么，2×3×5×7×…×p+1這個(gè)合數(shù)肯定也能夠被2，3，5，7...p中的某些數(shù)整除。但是，從2×3×5×7×…×p+1這個(gè)表達(dá)式我們就能看出來(lái)，它并不能被2，3，5，7...p中的任何數(shù)整除，也就形成了悖論，所以我們之前的假設(shè)并不成立，也就說(shuō)明了一定有無(wú)限多個(gè)質(zhì)數(shù)。（反證法的典型應(yīng)用）質(zhì)數(shù)都有哪些呢？剛才我們提到的2，3，5，7都是質(zhì)數(shù)，我們可以按照質(zhì)數(shù)的定義繼續(xù)尋找，2，3，5，7，11，13，17，19，23...質(zhì)數(shù)與質(zhì)數(shù)之間看似毫無(wú)關(guān)系，但仔細(xì)觀察還是能找出一些規(guī)律的。下圖中列出了100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)。根據(jù)算術(shù)基本定理，所有合數(shù)都能夠?qū)懗少|(zhì)數(shù)乘積的形式，因此100以?xún)?nèi)的合數(shù)必然是2，3，5或7中的至少一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，這是因?yàn)槿舴侨绱?，則這個(gè)合數(shù)必然是大于7的質(zhì)數(shù)之積，則超出了100這一范圍。這也就是說(shuō)，在100以?xún)?nèi)的數(shù)中，合數(shù)必為2或3或5或7的倍數(shù)。除此之外的數(shù)則為質(zhì)數(shù)（習(xí)慣上規(guī)定1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)）。因?yàn)?的倍數(shù)以2、4、6、8、0結(jié)尾，5的倍數(shù)以5、0結(jié)尾，所以大于10的質(zhì)數(shù)必然不第2列、第4列、第5列、第6列、第8列和第10列。其余列中在除掉3的倍數(shù)和7的倍數(shù)，剩余的則為質(zhì)數(shù)。關(guān)于如何快速判斷出倍數(shù)關(guān)系的問(wèn)題會(huì)在以后討論。發(fā)布于 2020-06-19 09:03數(shù)學(xué)數(shù)論?贊同 10??4 條評(píng)論?分享?喜歡?收藏?申請(qǐng)奇妙的素?cái)?shù)（1） ——素?cái)?shù)定理 - 知乎
數(shù)論（一）質(zhì)數(shù) - 知乎
質(zhì)數(shù)_百度百科
度百科 網(wǎng)頁(yè)新聞貼吧知道網(wǎng)盤(pán)圖片視頻地圖文庫(kù)資訊采購(gòu)百科百度首頁(yè)登錄注冊(cè)進(jìn)入詞條全站搜索幫助首頁(yè)秒懂百科特色百科知識(shí)專(zhuān)題加入百科百科團(tuán)隊(duì)權(quán)威合作下載百科APP個(gè)人中心質(zhì)數(shù)[zhì shù]播報(bào)討論上傳視頻數(shù)學(xué)概念收藏查看我的收藏0有用+10質(zhì)數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)。中文名質(zhì)數(shù)外文名prime number別????名素?cái)?shù)討論范圍非0自然數(shù)定????義只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù)反義詞合數(shù)所屬范圍自然數(shù)目錄1簡(jiǎn)介2性質(zhì)3應(yīng)用4編程?基本判斷思路?代碼?素性檢測(cè)?篩素?cái)?shù)法5猜想?哥德巴赫猜想?黎曼猜想?孿生質(zhì)數(shù)?梅森質(zhì)數(shù)簡(jiǎn)介播報(bào)編輯質(zhì)數(shù)又稱(chēng)素?cái)?shù)。一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；否則稱(chēng)為合數(shù)（規(guī)定1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)）。質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個(gè)經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個(gè)，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè)N=p1×p2×……×pn。如果 為素?cái)?shù)，則 要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。如果N+1為合數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)合數(shù)都可以分解為幾個(gè)素?cái)?shù)的積；而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。因此無(wú)論該數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個(gè)素?cái)?shù)之外還存在著其他素?cái)?shù)。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說(shuō)，素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。其他數(shù)學(xué)家給出了一些不同的證明。歐拉證明了全部素?cái)?shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，恩斯特·庫(kù)默的證明更為簡(jiǎn)潔，哈里·弗斯滕伯格則用拓?fù)鋵W(xué)加以證明。盡管整個(gè)素?cái)?shù)是無(wú)窮的，仍然有人會(huì)問(wèn)“100，000以下有多少個(gè)素?cái)?shù)？”，“一個(gè)隨機(jī)的100位數(shù)多大可能是素?cái)?shù)？”。素?cái)?shù)定理可以回答此問(wèn)題。性質(zhì)播報(bào)編輯1、質(zhì)數(shù)p的約數(shù)只有兩個(gè)：1和p。2、算術(shù)基本定理：任一大于1的自然數(shù)，要么本身是質(zhì)數(shù)，要么可以分解為幾個(gè)質(zhì)數(shù)之積，且這種分解是唯一的。3、質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。4、質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)公式 是不減函數(shù)。5、若n為正整數(shù)，在 到 之間至少有一個(gè)質(zhì)數(shù)。6、若n為大于或等于2的正整數(shù)，在n到 之間至少有一個(gè)質(zhì)數(shù)。7、在一個(gè)大于1的數(shù)a和它的2倍之間（即區(qū)間（a, 2a]中）必存在至少一個(gè)素?cái)?shù)。8、存在任意長(zhǎng)度的素?cái)?shù)等差數(shù)列 [1]。 9、任一充分大的偶數(shù)都可以表示成一個(gè)素?cái)?shù)加一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)2個(gè)的數(shù)的和，簡(jiǎn)稱(chēng)為“1+2”。 [2]。應(yīng)用播報(bào)編輯質(zhì)數(shù)被利用在密碼學(xué)上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時(shí)加入質(zhì)數(shù)，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒(méi)有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過(guò)程中（實(shí)為尋找素?cái)?shù)的過(guò)程），將會(huì)因?yàn)檎屹|(zhì)數(shù)的過(guò)程（分解質(zhì)因數(shù)）過(guò)久，使即使取得信息也會(huì)無(wú)意義。在汽車(chē)變速箱齒輪的設(shè)計(jì)上，相鄰的兩個(gè)大小齒輪齒數(shù)設(shè)計(jì)成質(zhì)數(shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個(gè)相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增強(qiáng)耐用度減少故障。在害蟲(chóng)的生物生長(zhǎng)周期與殺蟲(chóng)劑使用之間的關(guān)系上，殺蟲(chóng)劑的質(zhì)數(shù)次數(shù)的使用也得到了證明。實(shí)驗(yàn)表明，質(zhì)數(shù)次數(shù)地使用殺蟲(chóng)劑是最合理的：都是使用在害蟲(chóng)繁殖的高潮期，而且害蟲(chóng)很難產(chǎn)生抗藥性。以質(zhì)數(shù)形式無(wú)規(guī)律變化的導(dǎo)彈和魚(yú)雷可以使敵人不易攔截。多數(shù)生物的生命周期也是質(zhì)數(shù)（單位為年），這樣可以最大程度地減少碰見(jiàn)天敵的機(jī)會(huì)。編程播報(bào)編輯基本判斷思路在一般領(lǐng)域，對(duì)正整數(shù)n，如果用2到 之間的所有整數(shù)去除，均無(wú)法整除，則n為質(zhì)數(shù)。代碼Python 代碼：from?math?import?sqrt
def?is_prime(n):
????if?n?==?1:
????????return?False
????for?i?in?range(2,?int(sqrt(n))+1):
????????if?n?%?i?==?0:
????????????return?False
????return?TrueJava代碼：1.??
?public?static?boolean?testIsPrime2(int?n){
???????if?(n?<=?3)?{
????????????return?n?>?1;
????????}
???????
???????for(int?i=2;i ???????????if(n%i?==?0) ???????????????return?false; ???????} ???????return?true; ???} /*優(yōu)化后*/ ?public?static?boolean?testIsPrime3(int?n){ ???????if?(n?<=?3)?{ ????????????return?n?>?1; ????????} ??????? ???????for(int?i=2;i<=Math.sqrt(n);i++){ ???????????if(n%i?==?0) ???????????????return?false; ???????} ???????return?true; ???} ??? ??? 2. public?class?Prime?{ ????public?static?void?main（String[]?args）?{ ????????int?a?=?17;?//判斷17是不是質(zhì)數(shù) ????????int?c?=?0; ????????for?(int?b?=?2;?b? ????????????if?(a?%?b?!=?0)?{ ????????????????c++; ????????????} ????????} ????????if?(c?==?a?-?2)?{ ????????????System.out.println(a?+?"是質(zhì)數(shù)"); ????????}?else?{ ????????????System.out.println(a?+?"不是質(zhì)數(shù)"); ????????} ????} }Php代碼：function?isPrime($n)?{//TurkHackTeam?AVP?production ????if?($n?<=?3)?{ ????????return?$n?>?1; ????}?else?if?($n?%?2?===?0?||?$n?%?3?===?0)??{ ????????return?false; ????}?else?{ ????????for?($i?=?5;?$i?*?$i?<=?$n;?$i?+=?6)?{ ????????????if?($n?%?$i?===?0?||?$n?%?（$i?+?2)?===?0）?{ ????????????????return?false; ????????????} ????????} ????????return?true; ????} }C#代碼：using?System; namespace?計(jì)算質(zhì)數(shù) { ???class?Program ???{ ???????static?void?Main(string[]?args) ???????{ ???????????for?(int?i?=?2,j=1;?i? ???????????{ ???????????????if?(st(i)) ???????????????{ ???????????????????Console.WriteLine("{0,-10}{1}",j,i); ???????????????????j++; ???????????????} ???????????} ???????} ???????static?bool?st(int?n)//判斷一個(gè)數(shù)n是否為質(zhì)數(shù) ???????{ ???????????int?m?=?(int)Math.Sqrt(n); ???????????for(int?i=2;i<=m;i++) ????????????{ ????????????????if(n%i==0?&&?i!=n) ????????????????????return?false; ??????????}? ????????????return?true; ???????} ???} } C代碼：#include? #include? int?main() { ????double?x,y,i; ????int?a,b; ????x?=?3.0; ????do{ ????????i?=?2.0; ????????do{ ????????????y?=?x?/?i; ????????????a?=?(int)y; ????????????if(y?!=?a)//用于判斷是否為整數(shù) ????????????{ ????????????????if(i?==?x?-?1) ????????????????{ ????????????????????b?=?(int)x; ????????????????????printf("%d\n",b); ????????????????} ????????????} ????????????i++; ????????}while(y?!=?a); ????????x++; ????}while(x?<=?10000.0);//3到10000的素?cái)?shù) ????system("pause");//防止閃退 ????return?0; }C/C++代碼：#include #include #include using?namespace?std; const?long?long?size=100000;//修改size的數(shù)值以改變最終輸出的大小 long?long?zhishu[size/2]; void?work?(){//主要程序 ????zhishu[1]=2; ????long?long?k=2; ????for(long?long?i=3;i<=size;i++){//枚舉每個(gè)數(shù) ????????bool?ok=1; ????????for(long?long?j=1;j ????????????if(i%zhishu[j]==0){ ????????????????ok=!ok; ????????????????break; ????????????} ????????} ????????if（ok）{ ????????????zhishu[k]=i; ????????????cout<<"count"< ????????????k++; ????????} ????} } int?main（）{ ????freopen("zhishu.out","w",stdout); ????cout<<"count1?2"< ????work(); ????return?0; }bool?isPrime(unsigned?long?n)?{ ????if?(n?<=?3)?{ ????????return?n?>?1; ????}?else?if?(n?%?2?==?0?||?n?%?3?==?0)?{ ????????return?false; ????}?else?{ ????????for?(unsigned?short?i?=?5;?i?*?i?<=?n;?i?+=?6)?{ ????????????if?(n?%?i?==?0?||?n?%?（i?+?2）?==?0)?{ ????????????????return?false; ????????????} ????????} ????????return?true; ????} }Pascal代碼：function?su(a:longint):boolean; var begin ????if?a=2?then?exit(true)?else?for?i:=2?to?trunc(sqrt(a))+1?do?if?a?mod?i=0?then?exit（false）; ????exit(true); end.Javascript代碼：function?isPrime(n)?{ ????if?(n?<=?3)?{?return?n?>?1;?} ????if?(n?%?2?==?0?||?n?%?3?==?0)?{?return?false;?} ????for?(var??i?=?5;?i?*?i?<=?n;?i?++)?{ ????????if?(n?%?i?==?0?||?n?%?(i?+?1)?==?0)?{?return?false;?} ????} ????return?true; }Go代碼：func?isPrime(value?int)?bool?{ ????if?value?<=?3?{ ????????return?value?>=?2 ????} ????if?value%2?==?0?||?value%3?==?0?{ ????????return?false ????} ????for?i?:=?5;?i*i?<=?value;?i?+=?6?{ ????????if?value%i?==?0?||?value%（i+2）?==?0?{ ????????????return?false ????????} ????} ????return?true }Basic 代碼Private?Function?IfPrime（ByVal?x?As?Long）?As?Boolean ????Dim?i?As?Long ????If?x? ????If?x?=?2?Then?Return?True ????If?x?=?1?Then?Return?True ????If?x?=?3?Then?Return?False ????If?x?=?0?Then? ????????MsgBox("error",,) ????????Return?False ????End?If ????For?i?=?2?To?Int(Sqrt(x))?Step?1 ????????If?x?Mod?i?=?0?Then?Return?False ????Next?i ????Return?True End?FunctionALGOL代碼begin ????Boolean?array?a[2:100]; ????integer?i,j; ????for?i?:=?2?step?1?until?100?do ????a[i]?:=?true; ????for?i?:=?2?step?1?until?10?do ????????if?a[i]?then ????????????????for?j?:=?2?step?1?until?1000÷i?do ????????????????????a[i?×?j]?:=?false; ????for?i?:=?2?step?1?until?100?do ????????if?a[i]?then ????????????print?(i); end????????????素性檢測(cè)素性檢測(cè)一般用于數(shù)學(xué)或者加密學(xué)領(lǐng)域。用一定的算法來(lái)確定輸入數(shù)是否是素?cái)?shù)。不同于整數(shù)分解，素性測(cè)試一般不能得到輸入數(shù)的素?cái)?shù)因子，只說(shuō)明輸入數(shù)是否是素?cái)?shù)。大整數(shù)的分解是一個(gè)計(jì)算難題，而素性測(cè)試是相對(duì)更為容易（其運(yùn)行時(shí)間是輸入數(shù)字大小的多項(xiàng)式關(guān)系）。有的素性測(cè)試證明輸入數(shù)字是素?cái)?shù)，而其他測(cè)試，比如米勒 - 拉賓（Miller–Rabin ）則是證明一個(gè)數(shù)字是合數(shù)。因此，后者可以稱(chēng)為合性測(cè)試。素性測(cè)試通常是概率測(cè)試（不能給出100%正確結(jié)果）。這些測(cè)試使用除輸入數(shù)之外，從一些樣本空間隨機(jī)出去的數(shù)；通常，隨機(jī)素性測(cè)試絕不會(huì)把素?cái)?shù)誤判為合數(shù)，但它有可能為把一個(gè)合數(shù)誤判為素?cái)?shù)。誤差的概率可通過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)幾個(gè)獨(dú)立值a而減??；對(duì)于兩種常用的測(cè)試中，對(duì)任何合數(shù)n，至少一半的a檢測(cè)n的合性，所以k的重復(fù)可以減小誤差概率最多到 ，可以通過(guò)增加k來(lái)使得誤差盡量小。隨機(jī)素性測(cè)試的基本結(jié)構(gòu)：1、隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)字a。2、檢測(cè)某個(gè)包含a和輸入n的等式（與所使用的測(cè)試方法有關(guān)）。如果等式不成立，則n是合數(shù)，a作為n是合數(shù)的證據(jù)，測(cè)試完成。3、從1步驟重復(fù)整個(gè)過(guò)程直到達(dá)到所設(shè)定的精確程度。在幾次或多次測(cè)試之后，如果n沒(méi)有被判斷為合數(shù)，那么可以說(shuō)n可能是素?cái)?shù)。常見(jiàn)的檢測(cè)算法：費(fèi)馬素性檢驗(yàn)（Fermat primality test），米勒拉賓測(cè)試（Miller–Rabin primality test） ，Solovay–Strassen測(cè)試，盧卡斯-萊默檢驗(yàn)法（Lucas–Lehmer primality test）。篩素?cái)?shù)法篩素?cái)?shù)法可以比枚舉法節(jié)約極大量的時(shí)間（定n為所求最大值，m為≤n的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)，那么枚舉需要O（n^2）的時(shí)間復(fù)雜度，而篩素?cái)?shù)法為O（m*n）,顯然m< #include #include #include using?namespace?std; const?long?long?size=1000000;//修改此值以改變要求到的最大值 bool?zhishu[size+5]={false}; int?main（）{ ????freopen（"zhishu.out","w",stdout）;//輸出答案至“篩質(zhì)數(shù)（shaizhishu）.exe”所在文件夾內(nèi) ????zhishu[2]=true; ????for（long?long?i=3;i<=size;i+=2）zhishu[i]=true;//所有奇數(shù)標(biāo)為true，偶數(shù)為false ????for（long?long?i=3;i<=size;i++）{ ????????if（zhishu[i]）{//如果i是質(zhì)數(shù) ????????????int?cnt=2; ????????????while（cnt*i<=size）{//把i的倍數(shù)標(biāo)為false（因?yàn)樗鼈兪呛蠑?shù)） ????????????????zhishu[cnt*i]=false; ????????????????cnt++; ????????????} ????????} ????} ????int?cnt=1; ????for（int?i=2;i<=size;i++）{//全部遍歷一遍 ????????if（zhishu[i]）{//如果仍然標(biāo)記為true（是質(zhì)數(shù)）則輸出 ????????????cout< ????????????cnt++; ????????} ????} ????return?0; } /* 樣例輸出結(jié)果，第一個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)，第二個(gè)是第幾個(gè)質(zhì)數(shù) 1?2 2?3 3?5 4?7 5?11 6?13 7?17 8?19 9?23 10?29 11?31 12?37 13?41 14?43 15?47 16?53 17?59 18?61 19?67 20?71 21?73 22?79 23?83 24?89 25?97 */篩選法的Java實(shí)現(xiàn)，如下：/** ?*?@title?SOE ?*?@desc?簡(jiǎn)單的埃氏篩選法計(jì)算素?cái)?shù)? ?*?@author?he11o ?*?@date?2016年5月3日 ?*?@version?1.0 ?*/ public?class?SOE?{ ????public?static?int?calPrime（int?n）{ ????????if（n<=1）{ ????????????return?0; ????????} ????????byte[]?origin?=?new?byte[n+1]; ????????int?count?=?0; ????????for（int?i=2;i ????????????if（origin[i]?==?0）{ ????????????????count++; ????????????????int?k?=?2; ????????????????while（i*k<=n）{ ????????????????????origin[i*k]?=?1;? ????????????????????k++; ????????????????} ????????????}else{ ????????????????continue; ????????????} ????????} ????????return?count; ????} }采用簡(jiǎn)單的埃氏篩選法和簡(jiǎn)單的開(kāi)方判斷素?cái)?shù)法計(jì)算1000000以?xún)?nèi)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)的效率比較：StopWatch '計(jì)算1000000以?xún)?nèi)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)': running time （millis） = 268-----------------------------------------ms % Task name-----------------------------------------00024 009% 簡(jiǎn)單的埃氏篩選法；00244 091% 簡(jiǎn)單的開(kāi)方判斷素?cái)?shù)法。猜想播報(bào)編輯哥德巴赫猜想：是否每個(gè)大于2的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和？孿生素?cái)?shù)猜想：孿生素?cái)?shù)就是差為2的素?cái)?shù)對(duì)，例如11和13。是否存在無(wú)窮多的孿生素?cái)?shù)？斐波那契數(shù)列內(nèi)是否存在無(wú)窮多的素?cái)?shù)？是否有無(wú)窮多個(gè)的梅森素?cái)?shù)？在n2與（n+1）2之間是否每隔n就有一個(gè)素?cái)?shù)？是否存在無(wú)窮個(gè)形式如X2+1素?cái)?shù)？黎曼猜想 [2]哥德巴赫猜想在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。因現(xiàn)今數(shù)學(xué)界已經(jīng)不使用“1也是素?cái)?shù)”這個(gè)約定，原初猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和。歐拉在回信中也提出另一等價(jià)版本，即任一大于2的偶數(shù)想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過(guò)b個(gè)的數(shù)之和"記作"a+b"。1966年陳景潤(rùn)證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個(gè)素?cái)?shù)的和，或是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)半素?cái)?shù)的和"?！〗袢粘Ｒ?jiàn)的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，亦稱(chēng)為“強(qiáng)哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇數(shù)都可寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和的猜想。后者稱(chēng)為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。若關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想是對(duì)的，則關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想也會(huì)是對(duì)的。1937年時(shí)前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫已經(jīng)證明充分大的奇質(zhì)數(shù)都能寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數(shù)的和，也稱(chēng)為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素?cái)?shù)定理”。2013年，秘魯數(shù)學(xué)家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師范學(xué)院宣稱(chēng)：證明了一個(gè)“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一個(gè)大于7的奇數(shù)都能被表示成3個(gè)奇素?cái)?shù)之和”。黎曼猜想黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ（s）的零點(diǎn)分布的猜想，由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特列出23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。其中第8問(wèn)題中便有黎曼假設(shè)。素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布并沒(méi)有簡(jiǎn)單的規(guī)律。黎曼發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率與黎曼ζ函數(shù)緊密相關(guān)。黎曼猜想提出：黎曼ζ函數(shù)ζ（s）非平凡零點(diǎn)（在此情況下是指s不為-2、-4、-6等點(diǎn)的值）的實(shí)數(shù)部份是1/2。即所有非平凡零點(diǎn)都應(yīng)該位于直線1/2 + ti（“臨界線”（critical line））上。t為一實(shí)數(shù)，而i為虛數(shù)的基本單位。無(wú)人給出一個(gè)令人信服的關(guān)于黎曼猜想的合理證明。在黎曼猜想的研究中，數(shù)學(xué)家們把復(fù)平面上 Re（s）=1/2 的直線稱(chēng)為 critical line。 運(yùn)用這一術(shù)語(yǔ)，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于 critical line 上。黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在證明素?cái)?shù)定理的過(guò)程中，黎曼提出了一個(gè)論斷：Zeta函數(shù)的零點(diǎn)都在直線Res（s） = 1/2上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了，因?yàn)檫@對(duì)他證明素?cái)?shù)定理影響不大。但這一問(wèn)題仍然未能解決，甚至于比此假設(shè)簡(jiǎn)單的猜想也未能獲證。而函數(shù)論和解析數(shù)論中的很多問(wèn)題都依賴(lài)于黎曼假設(shè)。在代數(shù)數(shù)論中的廣義黎曼假設(shè)更是影響深遠(yuǎn)。若能證明黎曼假設(shè)，則可帶動(dòng)許多問(wèn)題的解決。孿生質(zhì)數(shù)1849年，波林那克提出孿生質(zhì)數(shù)猜想（the conjecture of twin primes），即猜測(cè)存在無(wú)窮多對(duì)孿生質(zhì)數(shù)。猜想中的“孿生質(zhì)數(shù)”是指一對(duì)質(zhì)數(shù)，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孿生質(zhì)數(shù)。英國(guó)數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德曾提出一個(gè)“強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想”。這一猜想不僅提出孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多對(duì)，而且還給出其漸近分布形式。2013年5月14日，《自然》（Nature）雜志在線報(bào)道張益唐證明了“存在無(wú)窮多個(gè)之差小于7000萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)”，這一研究隨即被認(rèn)為在孿生素?cái)?shù)猜想這一終極數(shù)論問(wèn)題上取得了重大突破，甚至有人認(rèn)為其對(duì)學(xué)界的影響將超過(guò)陳景潤(rùn)的“1+2”證明。 [3]梅森質(zhì)數(shù)17世紀(jì)還有位法國(guó)數(shù)學(xué)家叫梅森，他曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)猜想：當(dāng)2p-1 中的p是質(zhì)數(shù)時(shí)，2p-1是質(zhì)數(shù)。他驗(yàn)算出：當(dāng)p=2、3、5、7、17、19時(shí)，所得代數(shù)式的值都是質(zhì)數(shù)，后來(lái)，歐拉證明p=31時(shí)，2p-1是質(zhì)數(shù)。 p=2，3，5，7時(shí)，2p-1都是素?cái)?shù)，但p=11時(shí)，所得2,047=23×89卻不是素?cái)?shù)。梅森去世250年后，美國(guó)數(shù)學(xué)家科爾證明，267-1=193,707,721×761,838,257,287，是一個(gè)合數(shù)。這是第九個(gè)梅森數(shù)。20世紀(jì)，人們先后證明：第10個(gè)梅森數(shù)是質(zhì)數(shù)，第11個(gè)梅森數(shù)是合數(shù)。由于這種質(zhì)數(shù)珍奇而迷人，它被人們稱(chēng)為“數(shù)學(xué)珍寶”。值得一提的是，中國(guó)數(shù)學(xué)家和語(yǔ)言學(xué)家周海中根據(jù)已知的梅森質(zhì)數(shù)及其排列，巧妙地運(yùn)用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，于1992年正式提出了梅森素質(zhì)分布的猜想，這一重要猜想被國(guó)際上稱(chēng)為“周氏猜測(cè)”。新手上路成長(zhǎng)任務(wù)編輯入門(mén)編輯規(guī)則本人編輯我有疑問(wèn)內(nèi)容質(zhì)疑在線客服官方貼吧意見(jiàn)反饋投訴建議舉報(bào)不良信息未通過(guò)詞條申訴投訴侵權(quán)信息封禁查詢(xún)與解封?2024?Baidu?使用百度前必讀?|?百科協(xié)議?|?隱私政策?|?百度百科合作平臺(tái)?|?京ICP證030173號(hào)?京公網(wǎng)安備110000020000 質(zhì)數(shù)真的沒(méi)有規(guī)律嗎？ - 知乎首頁(yè)知乎知學(xué)堂發(fā)現(xiàn)等你來(lái)答?切換模式登錄/注冊(cè)數(shù)學(xué)思維數(shù)論規(guī)律質(zhì)數(shù)真的沒(méi)有規(guī)律嗎？關(guān)注者22被瀏覽28,876關(guān)注問(wèn)題?寫(xiě)回答?邀請(qǐng)回答?好問(wèn)題?1 條評(píng)論?分享?11 個(gè)回答默認(rèn)排序羅莫心開(kāi)者，幼沖而即悟；意閉者，皓首而難精。? 關(guān)注所有素?cái)?shù)是確定的，當(dāng)然是有規(guī)律的。能確定的存在都叫規(guī)律。只是描述素?cái)?shù)規(guī)律的時(shí)候不能再用以往的經(jīng)驗(yàn)了，素?cái)?shù)不能用有限項(xiàng)的多項(xiàng)式經(jīng)有限步運(yùn)算來(lái)表達(dá)。也就是說(shuō)素教應(yīng)有公式，卻沒(méi)有通項(xiàng)公式，算法封閉型的迭代通項(xiàng)公式也沒(méi)有，這個(gè)是可證明的。但算法開(kāi)放的迭代表達(dá)是存的，類(lèi)似威爾遜定理的算法就是，但超大素?cái)?shù)沒(méi)法在多項(xiàng)式時(shí)間里計(jì)算出來(lái)，故用它來(lái)找大素?cái)?shù)幾乎沒(méi)啥用。數(shù)學(xué)界渴望有新的辦法能次第找到超大素?cái)?shù)，同時(shí)也希望干萬(wàn)別可輕易找到超大素?cái)?shù)。符合人擇原理，還真是這樣，人類(lèi)這兩個(gè)愿望，素?cái)?shù)規(guī)律，它都能滿(mǎn)足。確實(shí)無(wú)通項(xiàng)公式能找到超大素?cái)?shù)，也確實(shí)能通過(guò)煩瑣迭代依次找到超大素?cái)?shù)，不過(guò)用多少時(shí)間能找到卻不敢保證。只不過(guò)素?cái)?shù)無(wú)通項(xiàng)公式并不影響能存在性證明哥猜和黎曼猜想。以后會(huì)有復(fù)雜度極高的構(gòu)造性證明也是有可能的，不過(guò)得需借助于計(jì)算機(jī)了。能存在性證明哥猜和黎曼猜想，也算捕捉到了素?cái)?shù)的核心規(guī)律了。鑒于知乎不能表達(dá)超前命題的習(xí)慣，說(shuō)了就要證明，還要知乎的編輯能看懂，否則會(huì)被扣上事實(shí)無(wú)來(lái)源，故就不多說(shuō)了。原創(chuàng)性答案的問(wèn)題暫且別在知手里找。但知乎會(huì)提供線索。祝好運(yùn)能找到完美答案，或在自己心中，或在某人的文字里。發(fā)布于 2020-10-01 18:53?贊同 7??添加評(píng)論?分享?收藏?喜歡收起?知乎用戶(hù)?高斯和歐拉都研究過(guò)素?cái)?shù)公式。不過(guò)目前看來(lái)要等黎曼猜想證實(shí)了之后下一步的研究才能展開(kāi)吧。。。問(wèn)題問(wèn)的很好。。。也許有一天你就發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)的規(guī)律。發(fā)布于 2019-02-17 18:23?贊同 2??1 條評(píng)論?分享?收藏?喜歡 如何用數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)表示從 2 開(kāi)始的所有質(zhì)數(shù)？ - 知乎首頁(yè)知乎知學(xué)堂發(fā)現(xiàn)等你來(lái)答?切換模式登錄/注冊(cè)趣味數(shù)學(xué)如何用數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)表示從 2 開(kāi)始的所有質(zhì)數(shù)？似乎怎么湊都不對(duì)。。。關(guān)注者82被瀏覽88,118關(guān)注問(wèn)題?寫(xiě)回答?邀請(qǐng)回答?好問(wèn)題 3?2 條評(píng)論?分享?14 個(gè)回答默認(rèn)排序知乎用戶(hù)各位，這個(gè)還真有……《高效程序的奧秘》一書(shū)第十六章討論了此問(wèn)題，給出了數(shù)個(gè)公式及各自證明，有興趣的可以自行查找。編輯于 2012-12-28 23:10?贊同 44??8 條評(píng)論?分享?收藏?喜歡收起?Silence? 關(guān)注質(zhì)數(shù)的生成規(guī)律是本世紀(jì)最大的數(shù)學(xué)秘密之一，黎曼有一個(gè)著名的猜想，根據(jù)這個(gè)假設(shè)得到了無(wú)數(shù)正確的結(jié)論，卻仍然無(wú)法證明猜想的正確，因此又被成為黎曼假設(shè)。。。。證明它還能獲得100萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金哦親！發(fā)布于 2011-10-07 00:11?贊同 8??3 條評(píng)論?分享?收藏?喜歡 走近黎曼猜想（二）:質(zhì)數(shù)的分布有什么規(guī)律？|高斯|素?cái)?shù)|自然數(shù)_網(wǎng)易訂閱 網(wǎng)易首頁(yè) 應(yīng)用 網(wǎng)易新聞 網(wǎng)易公開(kāi)課 網(wǎng)易高考智愿 網(wǎng)易紅彩 網(wǎng)易嚴(yán)選 郵箱大師 網(wǎng)易云課堂 快速導(dǎo)航 新聞 國(guó)內(nèi) 國(guó)際 評(píng)論 軍事 王三三 體育 NBA CBA 綜合 中超 國(guó)際足球 英超 西甲 意甲 娛樂(lè) 明星 圖片 電影 電視 音樂(lè) 稿事編輯部 娛樂(lè)FOCUS 財(cái)經(jīng) 股票 行情 新股 金融 基金 商業(yè) 理財(cái) 汽車(chē) 購(gòu)車(chē) 行情 車(chē)型庫(kù) 新能源 行業(yè) 科技 通信 IT 互聯(lián)網(wǎng) 特別策劃 網(wǎng)易智能 家電 時(shí)尚 親子 藝術(shù) 手機(jī) / 數(shù)碼 移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng) 驚奇科技 易評(píng)機(jī) 房產(chǎn) / 家居 北京房產(chǎn) 上海房產(chǎn) 廣州房產(chǎn) 全部分站 樓盤(pán)庫(kù) 家具 衛(wèi)浴 旅游 自駕露營(yíng) 美食 教育 移民 留學(xué) 外語(yǔ) 高考 查看網(wǎng)易地圖 登錄 注冊(cè)免費(fèi)郵箱 注冊(cè)VIP郵箱（特權(quán)郵箱，付費(fèi)） 免費(fèi)下載網(wǎng)易官方手機(jī)郵箱應(yīng)用 安全退出 移動(dòng)端 網(wǎng)易公開(kāi)課 TED 中國(guó)大學(xué)視頻公開(kāi)課 國(guó)際名校公開(kāi)課 賞課·紀(jì)錄片 付費(fèi)精品課程 北京大學(xué)公開(kāi)課 英語(yǔ)課程學(xué)習(xí) 網(wǎng)易嚴(yán)選 新人特價(jià) 9.9專(zhuān)區(qū) 新品熱賣(mài) 人氣好物 居家生活 服飾鞋包 母嬰親子 美食酒水 支付 一卡通充值 一卡通購(gòu)買(mǎi) 我的網(wǎng)易支付 網(wǎng)易跨境支付 郵箱 免費(fèi)郵箱 VIP郵箱 企業(yè)郵箱 免費(fèi)注冊(cè) 客戶(hù)端下載 網(wǎng)易首頁(yè) > 網(wǎng)易號(hào) > 正文 申請(qǐng)入駐 走近黎曼猜想（二）:質(zhì)數(shù)的分布有什么規(guī)律？ 2021-12-04 12:00:02 來(lái)源: 李永樂(lè)老師 ?舉報(bào) 0 分享至 用微信掃碼二維碼 分享至好友和朋友圈 質(zhì)數(shù)是只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)的數(shù)字。比如5就是質(zhì)數(shù)，因?yàn)?只有1和5兩個(gè)約數(shù)，而4就不是質(zhì)數(shù)，因?yàn)?的約數(shù)除了1和4，還有2，這樣的數(shù)字稱(chēng)為合數(shù)。數(shù)學(xué)中有一個(gè)專(zhuān)門(mén)的分支：數(shù)論，專(zhuān)門(mén)研究最簡(jiǎn)單的數(shù)字——自然數(shù)的性質(zhì)。在數(shù)論中，質(zhì)數(shù)是最引人入勝的風(fēng)景， 有許許多多關(guān)于質(zhì)數(shù)的猜想，例如以前介紹過(guò)的哥德巴赫猜想、費(fèi)馬數(shù)猜想等等，有些經(jīng)過(guò)了數(shù)百年的時(shí)間才被人證明，有些直到現(xiàn)在還沒(méi)有被證明。正因?yàn)橘|(zhì)數(shù)如此迷人和復(fù)雜，目前人們還沒(méi)有完全掌握質(zhì)數(shù)的規(guī)律，所以人們才把質(zhì)數(shù)作為密碼學(xué)的基礎(chǔ)。那么，質(zhì)數(shù)到底有多少個(gè)呢？它的分布有什么規(guī)律嗎？人們對(duì)質(zhì)數(shù)的研究已經(jīng)有了哪些成果呢？質(zhì)數(shù)有多少個(gè)？我們很容易通過(guò)計(jì)算寫(xiě)出前幾個(gè)質(zhì)數(shù)，它們是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37…那么，如果我們就這樣寫(xiě)下去，能夠把質(zhì)數(shù)都寫(xiě)窮盡嗎？如果質(zhì)數(shù)可以窮盡，那么關(guān)于質(zhì)數(shù)的許多猜想就變得容易了許多。遺憾的是，在古希臘時(shí)代，人們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)了，這要?dú)w功于數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)的創(chuàng)立者歐幾里得。歐幾里得通過(guò)反證法證明了質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)。所謂反證法，就是假設(shè)一個(gè)命題不成立，再通過(guò)演繹的方法推理出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)論，從而證明該命題。歐幾里得的思路是：假設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，分別是2、3、5、7、….、p,其中p是最大的質(zhì)數(shù)，那么可以令數(shù)字q等于所有質(zhì)數(shù)的乘積與1的和，即這個(gè)數(shù)字q是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)呢？（1）如果這個(gè)數(shù)字q是質(zhì)數(shù)，那么q是一個(gè)比p大的質(zhì)數(shù)，與p是最大的質(zhì)數(shù)矛盾，所以q不是質(zhì)數(shù)。（2）如果這個(gè)數(shù)字q是合數(shù)，那么它必然有除了1和它本身以外其他的約數(shù)，或者說(shuō)它可以進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，也就是把它寫(xiě)作一堆質(zhì)數(shù)的乘積：這里的m都是質(zhì)數(shù)，叫做q的質(zhì)因子。由于所有的質(zhì)數(shù)都被我們找到了，因此每一個(gè)m只能在2、3、5、7、…、p中取值?？墒牵鶕?jù)q的計(jì)算方法可知：也就是說(shuō)q-1是2、3、5、7、…、p這些質(zhì)數(shù)的整數(shù)倍，q除以2、3、5、7、…、p中的任何一個(gè)數(shù)字都會(huì)有余數(shù)1，因此q不可能有任何一個(gè)質(zhì)數(shù)因子，這與q是合數(shù)矛盾，q不可能是合數(shù)。所以，q既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，二者發(fā)生了矛盾。矛盾的起源在于我們假設(shè)質(zhì)數(shù)是有限個(gè)，所以質(zhì)數(shù)不可能是有限個(gè)，質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，真是一個(gè)漂亮的證法！如何尋找質(zhì)數(shù)？雖然質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，但是人們依然希望知道如何快速判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。古希臘的埃拉托色尼（我們之前談到過(guò)，就是那個(gè)測(cè)量出地球半徑的人）給出了一種制作質(zhì)數(shù)表的方法：篩選法。他的思路是：要找到一個(gè)小于某自然數(shù)n的全部質(zhì)數(shù)，只需要按照下面的方式：1. 找到這個(gè)數(shù)字的平方根m=√m2. 找到不大于m的所有質(zhì)數(shù)。3. 在一張自然數(shù)表上劃掉所有質(zhì)數(shù)的整數(shù)倍（質(zhì)數(shù)本身不劃掉）4. 把1劃掉。5. 沒(méi)有劃掉的數(shù)字就是質(zhì)數(shù)。例如，我們要找到100以?xún)?nèi)的所有質(zhì)數(shù)，只需要按照下面的步驟進(jìn)行：1. 計(jì)算100的平方根，是10。2. 10以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、73. 劃掉2、3、5、7的整數(shù)倍。首先劃掉2的倍數(shù)，如4、6、8…、98、100，然后劃掉3的倍數(shù)，如6、9、12、15、…、99， 重復(fù)的就不需要再劃掉了。然后劃掉5的倍數(shù)，7的倍數(shù)。4. 最后劃掉1。5. 表中余下的數(shù)字就是質(zhì)數(shù)。這個(gè)方法的依據(jù)是：如果一個(gè)數(shù)字是合數(shù)，那么它最小的質(zhì)因子不會(huì)超過(guò)它的平方根。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的證明我們依然可以使用反證法：如果所有質(zhì)因子都大于它的平方根，兩個(gè)質(zhì)因子相乘就會(huì)比它大了。質(zhì)數(shù)分布有規(guī)律嗎？人們雖然可以通過(guò)這種方法獲得質(zhì)數(shù)表，但是數(shù)字一旦大起來(lái)，判斷是不是質(zhì)數(shù)就非常困難，人們只能使用已知的質(zhì)數(shù)因子一個(gè)個(gè)去除，去嘗試。例如費(fèi)馬數(shù)它有一個(gè)1187位的因子，還沒(méi)有判斷出來(lái)是不是質(zhì)數(shù)。長(zhǎng)久以來(lái)，人們一直希望發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律，最好能通過(guò)一個(gè)公式算出質(zhì)數(shù)，或者能通過(guò)前面的質(zhì)數(shù)計(jì)算出后一個(gè)質(zhì)數(shù)。第一個(gè)獲得突破的人是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉在研究級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題中，得到了一個(gè)著名的公式：歐拉乘積定理。這個(gè)公式并不難理解：左邊的Σ表示求和，即把全體自然數(shù)n的s次冪的倒數(shù)求和。右邊的Π表示乘積，而數(shù)字p是質(zhì)數(shù)。如果我們把它展開(kāi)成更加好認(rèn)的形式，就是：這是多么美妙的式子！雖然自然數(shù)和質(zhì)數(shù)都是無(wú)窮多個(gè)，但是全體的自然數(shù)和全體質(zhì)數(shù)之間卻有某種微妙的聯(lián)系。不僅如此， 歐拉通過(guò)對(duì)質(zhì)數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)近似的規(guī)律：小于一個(gè)數(shù)x的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)π(x)大約可以用一個(gè)函數(shù)計(jì)算出來(lái)：lnx是一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)。歐拉研究出這個(gè)內(nèi)容之后，就去做其他工作了。畢竟歐拉涉獵的內(nèi)容太廣泛。于是，這個(gè)內(nèi)容的接力棒就傳到了另外一位數(shù)學(xué)巨匠高斯手中。素?cái)?shù)定理在歐拉去世的時(shí)候，德國(guó)的數(shù)學(xué)巨匠高斯六歲。他最出名的應(yīng)該是在小學(xué)的時(shí)候計(jì)算1+2+3+4+…+100的故事，但是他的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止于此。高斯在數(shù)論、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)、分析、微分幾何、大地測(cè)量學(xué)、地球物理學(xué)、力學(xué)、靜電學(xué)、天文學(xué)、矩陣?yán)碚摵凸鈱W(xué)等方面均有巨大貢獻(xiàn)，以高斯的名字命名的定律有110個(gè)，他和阿基米德、牛頓、歐拉并稱(chēng)為四大數(shù)學(xué)家。高斯小的時(shí)候，經(jīng)常自己一個(gè)人研究數(shù)字。他經(jīng)常隨意的寫(xiě)出連續(xù)1000個(gè)數(shù)字，并找出中間的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始的數(shù)字越大，這連續(xù)1000個(gè)數(shù)字中的質(zhì)數(shù)越少。他用找出的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)除以1000，就得到了質(zhì)數(shù)的“密度”。高斯發(fā)現(xiàn)這個(gè)密度大約可以用算式計(jì)算。這個(gè)結(jié)果與歐拉得到的結(jié)果接近，但又不完全相同。高斯得到這個(gè)結(jié)果后，并沒(méi)有急于發(fā)表。因?yàn)楦咚共⒉幌矚g發(fā)表一些不成熟的結(jié)論，他向來(lái)要求自己的論文嚴(yán)格而優(yōu)美。這樣，這個(gè)機(jī)會(huì)就留給了法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德。勒讓德在1798年提出：小于x的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)可以用下面的計(jì)算得到：其中的第一項(xiàng)積分式子稱(chēng)為L(zhǎng)i(x)，而c是一個(gè)誤差項(xiàng)。質(zhì)數(shù)也叫做素?cái)?shù)，而且勒讓德提出這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，并沒(méi)有嚴(yán)格證明，所以稱(chēng)為素?cái)?shù)猜想。勒讓德提出素?cái)?shù)猜想的榮譽(yù)保留了50年，然而在1849年，高斯在給他人的信中談到：1792年他就已經(jīng)提出了這個(gè)猜想。人們相信高斯，因?yàn)楦咚菇?jīng)常這么干。我們把素?cái)?shù)猜想計(jì)算的結(jié)果Li(x)，質(zhì)數(shù)實(shí)際個(gè)數(shù)π(x)，以及歐拉計(jì)算的x/lnx畫(huà)在一張圖中，就會(huì)發(fā)現(xiàn)Li(x)的結(jié)果更加接近實(shí)際的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。質(zhì)數(shù)與黎曼猜想我們之前談到：質(zhì)數(shù)與黎曼猜想之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。1896年，法國(guó)科學(xué)院舉行比賽：征稿證明黎曼定理。兩位年輕的數(shù)學(xué)家阿達(dá)馬和德·拉·瓦萊布桑獲得了這一殊榮。實(shí)際上這兩位數(shù)學(xué)家并沒(méi)有證明黎曼猜想，只是獲得了一點(diǎn)進(jìn)展，但是這一點(diǎn)進(jìn)展就一舉證明了歐拉和勒讓德的猜想，把素?cái)?shù)猜想變成了素?cái)?shù)定理。黎曼猜想的威力可見(jiàn)一斑。1901年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫證明：如果黎曼猜想被證實(shí)，那么素?cái)?shù)定理中的誤差項(xiàng)c大約是√xln(x)的量級(jí)。然而黎曼猜想到底是對(duì)是錯(cuò)？可能我們還需要等待許多年。即便黎曼猜想被證實(shí)，人們也只是在質(zhì)數(shù)規(guī)律探索的過(guò)程中更近了一步，距離真正破解質(zhì)數(shù)的規(guī)律，還有很長(zhǎng)的路要走。也許質(zhì)數(shù)就是宇宙留給人類(lèi)的密碼。 特別聲明：以上內(nèi)容(如有圖片或視頻亦包括在內(nèi))為自媒體平臺(tái)“網(wǎng)易號(hào)”用戶(hù)上傳并發(fā)布，本平臺(tái)僅提供信息存儲(chǔ)服務(wù)。 Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services. /閱讀下一篇/ 返回網(wǎng)易首頁(yè) 下載網(wǎng)易新聞客戶(hù)端 相關(guān)推薦 熱點(diǎn)推薦 拜登發(fā)表"一生中最好的演講" 眾議長(zhǎng)在身后搖頭翻白眼 環(huán)球網(wǎng)資訊 2024-03-09 07:34:00 8927 跟貼 8927 人大代表：建議將"普職分流"推遲到高考階段 上觀新聞 2024-03-09 11:44:02 10417 跟貼 10417 長(zhǎng)沙寶馬車(chē)沖撞學(xué)生女司機(jī)照片流出，煙草局長(zhǎng)丈夫被扒，原因可怕 求實(shí)者 2024-03-09 13:35:30 2 跟貼 2 沙約克空砍40分 山東高速男籃主場(chǎng)不敵上海男籃遭遇兩連敗 閃電新聞 2024-03-09 21:56:10 29 跟貼 29 香港年輕人想?yún)④?解放軍將領(lǐng)：都是一家人 歡迎 看看新聞Knews 2024-03-09 14:02:13 939 跟貼 939 48歲博士生8年未畢業(yè)被退學(xué) 南京大學(xué)發(fā)公告 上游新聞 2024-03-09 19:40:43 1985 跟貼 1985 明查｜2024年頭兩月入境上海人數(shù)僅1萬(wàn)人次？太離譜 澎湃新聞 2024-03-07 07:06:54 5569 跟貼 5569 中方將對(duì)歐洲六國(guó)試行免簽，平臺(tái)：預(yù)計(jì)匈牙利、比利時(shí)赴華游客增長(zhǎng)最快 澎湃新聞 2024-03-07 13:50:37 6263 跟貼 6263 鐘薛高經(jīng)銷(xiāo)商：價(jià)格回落很難再提價(jià) 今年不考慮鋪貨了 瀟湘晨報(bào) 2024-03-07 22:03:14 1650 跟貼 1650 姚明：中國(guó)籃球有大把人才 缺賽事體系和教練團(tuán)素質(zhì) 央視新聞 2024-03-09 12:19:29 4654 跟貼 4654 從“K寶”到“棄娃”，俄羅斯有關(guān)進(jìn)軍巴黎的攻防 新民周刊 2024-03-09 12:11:21 635 跟貼 635 巴黎奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式定檔7月26日19時(shí)30分 央視新聞客戶(hù)端 2024-03-09 09:59:45 3010 跟貼 3010 靳東談"假靳東"事件：平臺(tái)難辭其咎 為數(shù)字平臺(tái)立法提案 澎湃新聞 2024-03-09 14:16:54 749 跟貼 749 月薪幾萬(wàn)，買(mǎi)得起老鋪黃金？ 中國(guó)新聞周刊 2024-03-09 18:02:10 1 跟貼 1 俄軍對(duì)烏克蘭敖德薩發(fā)動(dòng)夜襲 摧毀烏克蘭"最機(jī)密"中心 每日經(jīng)濟(jì)新聞 2024-03-09 13:47:11 1 跟貼 1 日本動(dòng)漫界追憶鳥(niǎo)山明：他是大樹(shù)，他是漫畫(huà)之神 澎湃新聞 2024-03-08 13:42:27 1588 跟貼 1588 教育部：保障學(xué)生每天1小時(shí)體育鍛煉和充足的課間活動(dòng) 新京報(bào) 2024-03-09 16:10:37 774 跟貼 774 西安科技大學(xué)成立“新質(zhì)生產(chǎn)力研究中心”，校長(zhǎng)來(lái)興平掛帥 澎湃新聞 2024-03-09 12:06:28 199 跟貼 199 兩名飛行員在飛行途中睡著 印尼政府展開(kāi)調(diào)查 界面新聞 2024-03-09 21:20:54 81 跟貼 81 格力空調(diào)使用不到半年零件燒毀三次，商家：已維修，無(wú)法換新 澎湃新聞 2024-03-07 06:56:30 1899 跟貼 1899 山東泰山0:0北京國(guó)安，法比奧進(jìn)球被吹，王大雷撲救建功 齊魯壹點(diǎn) 2024-03-09 21:46:25 33 跟貼 33 多個(gè)大牌卷入致癌風(fēng)波被點(diǎn)名 企業(yè)方緊急回應(yīng) 環(huán)球時(shí)報(bào)新聞 2024-03-09 18:43:27 271 跟貼 271 1.02億噸！我國(guó)發(fā)現(xiàn)首個(gè)→ 半月談APP 2024-03-09 10:32:28 1107 跟貼 1107 全國(guó)政協(xié)常委王路：農(nóng)村嬰幼兒養(yǎng)育需政策設(shè)計(jì) 澎湃新聞 2024-03-09 14:36:01 223 跟貼 223 美方官宣：可攜帶核彈 環(huán)球時(shí)報(bào)新聞 2024-03-09 21:26:18 1 跟貼 1 全總副主席：“重學(xué)歷、輕技能”仍存在，出現(xiàn)“進(jìn)工廠不受待見(jiàn)”趨勢(shì) 澎湃新聞 2024-03-09 10:24:28 0 跟貼 0 24歲小伙約45歲大媽開(kāi)房，偷拍整個(gè)過(guò)程，大媽?zhuān)阂惠呑佣紩?huì)有陰影 青史錄 2023-09-19 19:03:40 藍(lán)可兒案通靈檔案：暗網(wǎng)通靈師自曝與死者溝通，獲得驚人內(nèi)幕 七月故事會(huì) 2024-03-08 14:38:19 王福重：中醫(yī)能治病，完全是雞叫與天亮的關(guān)系 科學(xué)公園 2024-01-24 00:43:52 吃得越狠演技越穩(wěn)！阮經(jīng)天“吃盒飯”，扯下了多少演員的遮羞布 喵喵娛樂(lè)團(tuán) 2024-03-07 20:48:41 中國(guó)使領(lǐng)館緊急提醒：非必要不外出 河南交通廣播1041 2024-03-09 11:43:42 某些人的愚蠢和瘋狂曾如此空前，但不會(huì)絕后 聽(tīng)哲學(xué) 2024-02-07 23:17:53 何超蓮年輕時(shí)候素顏好清純，黃色衛(wèi)衣有點(diǎn)顯黑，不過(guò)美麗值不減 云澤點(diǎn)評(píng)匯 2024-03-08 10:34:50 汪小菲保姆力挺汪小菲，小菲和女友逗狗疑暗諷大S，大S腹背受敵！ 鑫鑫說(shuō)說(shuō) 2024-03-09 11:22:04 絕了！網(wǎng)友把“躺平黨”分成了四大派系：純躺、工躺、富躺、嘴躺 瑪麗姬絲 2024-03-09 11:07:21 多家媒體步調(diào)一致，挺農(nóng)夫山泉鐘睒睒 一見(jiàn)財(cái)經(jīng) 2024-03-09 08:34:16 中國(guó)富豪為什么喜歡移民新加坡？這個(gè)文章基本解釋了根源！ 小蘿卜絲 2024-03-09 10:42:02 絕對(duì)大事件！因經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，俄羅斯準(zhǔn)備在中國(guó)發(fā)放債券進(jìn)行融資！ 雜談哥閑談 2024-03-08 21:46:12 專(zhuān)殺黑道大哥，臨刑前數(shù)萬(wàn)人求情，《周處除三害》原型傳奇一生 史記趣聞 2024-03-05 20:50:03 雷軍曬小米14 Ultra兩會(huì)樣張：姚明出鏡 快科技 2024-03-09 14:32:38 《龍珠》作者鳥(niǎo)山明去世，前曼城和巴薩球員羅曼宣布改名悟空 懂球帝 2024-03-09 09:55:17 再見(jiàn)紅軍！克洛普復(fù)出時(shí)間曝光，或接手6.5億豪門(mén)迎執(zhí)教新征程 條條愛(ài)侃球 2024-03-09 18:23:28 廣東逆轉(zhuǎn)四殺吉林升第四：周琦19分 皮特森空砍52+9+9三分 醉臥浮生 2024-03-09 21:50:09 靜默96小時(shí)，北約宣戰(zhàn)條件公布，談判大門(mén)幾乎關(guān)閉，中俄定調(diào)合作 戎評(píng)說(shuō) 2024-03-06 13:19:57 3月9日下午，突然曝出一個(gè)重大消息！下周一又要來(lái)大動(dòng)作嗎？ 股市皆大事 2024-03-09 13:48:25 杭州萬(wàn)象城一男子拿榔頭砸珠寶店柜臺(tái)，剛剛，警方通報(bào)！ 都市快報(bào)橙柿互動(dòng) 2024-03-09 20:39:23 2024-03-10 00:16:49 李永樂(lè)老師 一個(gè)愛(ài)科普的豆比中學(xué)老師 176文章數(shù) 6562關(guān)注度 往期回顧 全部 教育要聞 雅思詞匯解析（78）| 競(jìng)技比賽 “brain”是“大腦”，”child“是”孩子”，那“brainchild”是什么意思？ 十幾年前的我偏好讀這些書(shū)。有沒(méi)有同好？ 48歲博士生8年未畢業(yè)被退學(xué)，本人拒絕回應(yīng)，南大的做法讓他社死 溝通的藝術(shù)：當(dāng)孩子成績(jī)不佳時(shí)，家長(zhǎng)如何與老師進(jìn)行深度交流？ 頭條要聞 給超1.7億用戶(hù)彈窗反擊美國(guó)會(huì) TikTok：不會(huì)強(qiáng)迫用戶(hù) 俄軍對(duì)烏克蘭敖德薩發(fā)動(dòng)夜襲 摧毀烏克蘭"最機(jī)密"中心 老鋪黃金2家店半年收入1.5億 一把黃金勾踐劍賣(mài)到68萬(wàn) 美方官宣：F-35A戰(zhàn)機(jī)已獲得可攜帶B61-12核彈的認(rèn)證 正部級(jí)"老虎"被點(diǎn)名 中紀(jì)委一部門(mén)披露西北反腐新動(dòng)向 頭條要聞 給超1.7億用戶(hù)彈窗反擊美國(guó)會(huì) TikTok：不會(huì)強(qiáng)迫用戶(hù) 俄軍對(duì)烏克蘭敖德薩發(fā)動(dòng)夜襲 摧毀烏克蘭"最機(jī)密"中心 老鋪黃金2家店半年收入1.5億 一把黃金勾踐劍賣(mài)到68萬(wàn) 美方官宣：F-35A戰(zhàn)機(jī)已獲得可攜帶B61-12核彈的認(rèn)證 正部級(jí)"老虎"被點(diǎn)名 中紀(jì)委一部門(mén)披露西北反腐新動(dòng)向 體育要聞 哈勒普：噩夢(mèng)結(jié)束了 我在邁阿密回歸 中超-法比奧破門(mén)無(wú)效王大雷連送神撲 泰山0-0國(guó)安 中超-武磊點(diǎn)球被取消孫正傲染紅 10人浙江0-0海港 英超-曼聯(lián)2-0埃弗頓 加納喬造2點(diǎn)B費(fèi)拉師傅破門(mén) 逆轉(zhuǎn)!遼寧賽季橫掃廣州 張鎮(zhèn)麟33分趙繼偉22+10 娛樂(lè)要聞 張學(xué)友因身體原因取消3場(chǎng)演唱會(huì) 西游記的三任唐僧：汪粵徐少華半途而廢，只有遲重瑞堅(jiān)持到了最后 為大銀幕而生的杰作 風(fēng)水、巫師加抗日神劇，韓國(guó)人真敢拍，不愧是連續(xù)15天的票房冠軍 林俊杰空降熱搜，疑似發(fā)燒失聲演唱會(huì)受影響，粉絲接機(jī)陣仗超大 財(cái)經(jīng)要聞 金價(jià)每天見(jiàn)證歷史 有人連夜變現(xiàn)289萬(wàn)元！ 中國(guó)2月CPI同比增長(zhǎng)0.7%，PPI同比下降2.7% B站急了 八折買(mǎi)法拍房，我轉(zhuǎn)手賺了200萬(wàn) 美股全線收跌，芯片股走勢(shì)疲軟，英偉達(dá)跌5.55% 科技要聞 比亞迪的價(jià)格戰(zhàn)，要挖合資車(chē)的“祖墳”了 OpenAI“宮斗”調(diào)查結(jié)果公布！奧特曼完勝 理想MEGA 潰??？讓子彈再飛一會(huì)兒 小米汽車(chē)來(lái)了！首批直營(yíng)店四月開(kāi)業(yè) 交付中心落地多城 已預(yù)約試駕 美股周五：芯片股拖垮美股，英偉達(dá)盤(pán)中跳水超10% 汽車(chē)要聞 用價(jià)格打服你 唐DM-i榮耀版宣戰(zhàn)日系德系 對(duì)話張明霞:閃光的她 有趣的靈魂表里如一 定位中大型純電轎車(chē) 極狐阿爾法S5官圖發(fā)布 合資電車(chē)的新標(biāo)桿 試駕起亞EV5 720長(zhǎng)續(xù)航版 還是B級(jí)標(biāo)桿嗎?第九代凱美瑞上市 17.18萬(wàn)起 態(tài)度原創(chuàng) 房產(chǎn) 健康 藝術(shù) 游戲 軍事航空 房產(chǎn)要聞 海口首批“白名單”來(lái)了：16項(xiàng)目，45億！第二批申報(bào)70個(gè)項(xiàng)目，385億！ 平均月薪8958元，買(mǎi)房占比43%，看“她經(jīng)濟(jì)”崛起 最新！海南這座“千億新城”又有大量宅地曝光！ 單月備案716套，三亞安居房開(kāi)始放量！ 做試管嬰兒，女性有多“遭罪”？ 38婦女節(jié)：6款養(yǎng)生花茶請(qǐng)女性朋友收下 驚蟄時(shí)節(jié)乍暖還寒，注意防寒防疾病 節(jié)后如何調(diào)理腸胃？教你5招給腸胃減負(fù) "視力小偷"癥狀隱蔽 眼科檢查很有必要 藝術(shù)要聞 “熱帶現(xiàn)代主義”：獨(dú)立后的印度、加納及其建筑 德國(guó)表現(xiàn)主義畫(huà)家和版畫(huà)家| 馬克斯·佩希施泰因的繪畫(huà)作品 展覽預(yù)告｜白夢(mèng)帆&吳牧寒雙個(gè)展：如是我見(jiàn) Thus Have We Seen 李青：藝術(shù)是對(duì)庸常的逃逸 描繪沉默是一件困難的事情︱意大利畫(huà)家古格里莫·卡斯泰利繪畫(huà) 《鬼泣5》迎來(lái)發(fā)售5周年 官推發(fā)文慶祝 JDG四次拼懲零封RNG！呼吸哥沒(méi)跟尺帝碰拳，姿態(tài)直言夏季賽必散 JDG橫掃RNG！網(wǎng)友吐槽：EDG輸完，RNG輸，LPL御三家怎么了？ wei下滑嚴(yán)重！被搶4條龍！RNG敗給JDG后，官博炸了！粉絲怒噴打野 軍事要聞 俄軍對(duì)烏克蘭敖德薩發(fā)動(dòng)夜襲 摧毀烏克蘭"最機(jī)密"中心 美空軍測(cè)試高超音速導(dǎo)彈 俄國(guó)防部發(fā)布視頻 稱(chēng)摧毀烏軍部署在頓涅茨克防空系統(tǒng) 烏總統(tǒng)辦公室消息人士：澤連斯基考慮解雇外長(zhǎng)庫(kù)列巴 ? 1997-2024 網(wǎng)易公司版權(quán)所有 About NetEase | 公司簡(jiǎn)介 | 聯(lián)系方法 | 招聘信息 | 客戶(hù)服務(wù) | 隱私政策 | 廣告服務(wù) | 不良信息舉報(bào) Complaint Center | 廉正舉報(bào) 無(wú)障礙瀏覽 進(jìn)入關(guān)懷版質(zhì)數(shù)真的沒(méi)有規(guī)律嗎？ - 知乎
如何用數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)表示從 2 開(kāi)始的所有質(zhì)數(shù)？ - 知乎
素?cái)?shù)分布_百度百科
_百度百科 網(wǎng)頁(yè)新聞貼吧知道網(wǎng)盤(pán)圖片視頻地圖文庫(kù)資訊采購(gòu)百科百度首頁(yè)登錄注冊(cè)進(jìn)入詞條全站搜索幫助首頁(yè)秒懂百科特色百科知識(shí)專(zhuān)題加入百科百科團(tuán)隊(duì)權(quán)威合作下載百科APP個(gè)人中心收藏查看我的收藏0有用+10素?cái)?shù)分布播報(bào)討論上傳視頻數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)本詞條由“科普中國(guó)”科學(xué)百科詞條編寫(xiě)與應(yīng)用工作項(xiàng)目 審核 。素?cái)?shù)分布是數(shù)論中研究素?cái)?shù)性質(zhì)的重要課題。素?cái)?shù)或稱(chēng)質(zhì)數(shù)，是指一個(gè)大于1的整數(shù)，除1和它本身外，不能被其他的正整數(shù)所整除。研究各種各樣的素?cái)?shù)分布狀況，一直是數(shù)論中最重要和最有吸引力的中心問(wèn)題之一。中文名素?cái)?shù)分布外文名distribution of prime numbers作????用數(shù)論中研究素?cái)?shù)性質(zhì)目錄1簡(jiǎn)介2猜想?孿生素?cái)?shù)猜想?梅森素?cái)?shù)分布?素?cái)?shù)定理?算術(shù)級(jí)數(shù)中的最小素?cái)?shù)?相鄰素?cái)?shù)之差簡(jiǎn)介播報(bào)編輯大約在公元前300年，歐幾里得就證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。設(shè)2,3,…,p是不大于p的所有素?cái)?shù)，q=2*3*…*p+1。容易看出q不是2，3，…，p的倍數(shù)。由于q的最小正除數(shù)一定是素?cái)?shù)，因此，或者q本身是一個(gè)素?cái)?shù)，或者q可被p與q之間的某兩個(gè)素?cái)?shù)所整除[比如：2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509]。所以必有大于p的素?cái)?shù)存在，由此即知素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。素?cái)?shù)在自然數(shù)中占有極其重要的地位，但是它的變化非常不規(guī)則。最初的研究方法，是通過(guò)觀察素?cái)?shù)表來(lái)發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)分布的性質(zhì)?，F(xiàn)有的較完善的素?cái)?shù)表是D.B.扎蓋爾于1977年編制的，列出了不大于50000000的所有素?cái)?shù)。從素?cái)?shù)表可以看出：在1到100中間有25個(gè)素?cái)?shù)，在1到1000中間有168個(gè)素?cái)?shù)，在1000到2000中間有135個(gè)素?cái)?shù)，在2000到3000中間有127個(gè)素?cái)?shù)，在3000到4000中間有120個(gè)素?cái)?shù)，在4000到5000中間有119個(gè)素?cái)?shù)，在5000到10000中間有560個(gè)素?cái)?shù)。猜想播報(bào)編輯孿生素?cái)?shù)猜想兩個(gè)差等于2的一對(duì)素?cái)?shù),稱(chēng)為孿生素?cái)?shù)。例如,3和5；5和7；11和13；17和19；29和31；41和43；59和61；71和73；101和103；…10016957和10016959；都是孿生素?cái)?shù)。迄今所知的最大孿生素?cái)?shù)是1159142985×2-1和1159142985×2+1；它們是A.O.L.阿特金和N.W.里克特于1979年得到的。所謂孿生素?cái)?shù)猜想，即存在無(wú)窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)。這個(gè)猜想至今沒(méi)有解決，但認(rèn)為它是正確的可能性很大。梅森素?cái)?shù)分布2^P-1型的數(shù)稱(chēng)為梅森數(shù)，并以Mp記之；而 2^P-1型的素?cái)?shù)稱(chēng)為梅森素?cái)?shù)。這種特殊素?cái)?shù)貌似簡(jiǎn)單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進(jìn)行艱巨的計(jì)算。梅森素?cái)?shù)歷來(lái)是數(shù)論研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是當(dāng)今科學(xué)探索的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。2013年2月6日，據(jù)英國(guó)《新科學(xué)家》雜志網(wǎng)站報(bào)道，柯蒂斯·庫(kù)珀(Curtis Cooper)領(lǐng)導(dǎo)的研究小組于1月25日日發(fā)現(xiàn)了已知的最大梅森素?cái)?shù)--“2^57885161-1”，該素?cái)?shù)有17,425,170位，它是目前已知的最大素?cái)?shù)。如果用普通字號(hào)將這個(gè)巨數(shù)連續(xù)寫(xiě)下來(lái)，其長(zhǎng)度可超過(guò)65公里！迄今人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)48個(gè)梅森素?cái)?shù)。 [1]1772年，有“數(shù)學(xué)英雄”美名的瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2147483647)是第8個(gè)梅森素?cái)?shù)。這個(gè)具有10位的素?cái)?shù)，堪稱(chēng)當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。在“手算筆錄”的年代，人們僅找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。而計(jì)算機(jī)的誕生和網(wǎng)格技術(shù)的出現(xiàn)，加速了梅森素?cái)?shù)探究的進(jìn)程。1996年初，美國(guó)數(shù)學(xué)家、程序設(shè)計(jì)師喬治·沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)頁(yè)上供全球數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者免費(fèi)使用。它就是舉世聞名的GIMPS項(xiàng)目。為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)和促進(jìn)網(wǎng)格技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國(guó)的電子新領(lǐng)域基金會(huì)（EFF）于1999年設(shè)立了專(zhuān)項(xiàng)獎(jiǎng)金懸賞參與GIMPS項(xiàng)目的梅森素?cái)?shù)發(fā)現(xiàn)者。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過(guò)100萬(wàn)位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)5萬(wàn)美元。后面的獎(jiǎng)金依次為：超過(guò)1000萬(wàn)位數(shù)，10萬(wàn)美元；超過(guò)1億位數(shù)，15萬(wàn)美元；超過(guò)10億位數(shù)，25萬(wàn)美元。不過(guò)，絕大多數(shù)人參與該項(xiàng)目并不是為了金錢(qián)，而是出于好奇心、求知欲和榮譽(yù)感。梅森素?cái)?shù)的分布極不規(guī)則。探索梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為困難。數(shù)學(xué)家們?cè)陂L(zhǎng)期的摸索中，提出了一些猜想。英國(guó)數(shù)學(xué)家香克斯、美國(guó)數(shù)學(xué)家吉里斯、法國(guó)數(shù)學(xué)家托洛塔和德國(guó)數(shù)學(xué)家伯利哈特就曾分別給出過(guò)關(guān)于梅森素?cái)?shù)分布的猜測(cè)，但他們的猜測(cè)有一個(gè)共同點(diǎn)，就是都以近似表達(dá)式給出；而它們與實(shí)際情況的接近程度均未盡如人意。中國(guó)數(shù)學(xué)家及語(yǔ)言學(xué)家周海中經(jīng)過(guò)多年的研究，于1992年首次給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式，為人們尋找這一素?cái)?shù)提供了方便；后來(lái)這一重大成果被國(guó)際上命名為“周氏猜測(cè)”。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)得主阿特勒·塞爾伯格認(rèn)為：周氏猜測(cè)具有創(chuàng)新性，開(kāi)創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法；其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。 [2]素?cái)?shù)定理關(guān)于素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的研究是素?cái)?shù)分布中最重要的問(wèn)題之一。以 π(x)表示不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)，例如，π(2)=1，π(3)=2，π(100)=25，π(1000)=168。歐幾里得早就證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，即。從表可以看出：①x越大,π(x)與x的比值越接近于0；②x越大,π(x)與x/lnx的比值越接近于1。A.-M.勒讓德和C.F.高斯猜測(cè)即通常所稱(chēng)的素?cái)?shù)定理。它是素?cái)?shù)分布理論的中心定理。在這方面首先做出貢獻(xiàn)的是∏.Л.切比雪夫，他在1852年左右證明了存在兩個(gè)正常數(shù)с1,с2，使得不等式с1x/lnx≤π(x)≤с2x/lnx成立，其中x≥2。在1896年，J.（-S.）阿達(dá)馬和C.瓦萊·普桑彼此獨(dú)立而又幾乎同時(shí)證明了素?cái)?shù)定理。他們的證明都使用了高深的復(fù)變函數(shù)論知識(shí)。因此，能否以盡可能初等的方法來(lái)證明素?cái)?shù)定理，則成為數(shù)學(xué)家一直探討的重要問(wèn)題。1949年，A.賽爾伯格和P.愛(ài)爾特希給出了素?cái)?shù)定理的初等證明，除了極限、lnx和e的性質(zhì)之外，沒(méi)有用到其他的分析知識(shí)，但證明過(guò)程十分復(fù)雜。他們的證明是基于賽爾伯格的著名恒等式：當(dāng)x≥1時(shí)有式中，表示對(duì)所有不超過(guò)x的素?cái)?shù)求和，記號(hào)O的定義如下：設(shè)g(x)>0,?(x)為一復(fù)值函數(shù), α≤x≤b)。若存在一個(gè)與x無(wú)關(guān)的正常數(shù)M,使得當(dāng)α≤x≤b)時(shí)有|?(x)|≤Mg(x),則記為?(x)=O(g(x)),M稱(chēng)為記號(hào)O所含之常數(shù)。于是某一滿(mǎn)足上述條件的函數(shù)?(x),就可用O(g(x))代之。有誤差項(xiàng)的素?cái)?shù)定理是指尋求誤差π(x)-lix的最佳估計(jì),,它比x/lnx更接近于π(x)。C.瓦萊·普桑于1900年首先證明了這里с是一正的常數(shù)。H.von科赫于1901年在黎曼假設(shè)（見(jiàn)黎曼ζ函數(shù)）下證明了O(xlnx)。И.М.維諾格拉多夫等于1958年借助于他的三角和估計(jì)方法,得到π(x)-lix=O(xexp(-с(lnx)))，ε為任意正數(shù)，с是和ε有關(guān)的正常數(shù)。誤差項(xiàng)π(x)-lix的變化是極不規(guī)則的。設(shè)?(x)是實(shí)函數(shù)，如果存在與x無(wú)關(guān)的正常數(shù)α，使得任意大的x滿(mǎn)足?(x)>αx，則記為?(x)=Ω(x)；若使得任意大的x滿(mǎn)足?(x)<- αx，則記為?(x)=Ω-(x)。若這兩種情形同時(shí)出現(xiàn)，則記為?(x)=Ω(x)。J.E.李特爾伍德于1914年證明了：當(dāng)x→∞時(shí)，有π(x)-lix=Ω((xlnlnlnx)/lnx)。算術(shù)級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)定理 P.G.L.狄利克雷于1837年首先證明了首項(xiàng)與公差互素的算術(shù)級(jí)數(shù)中有無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)。設(shè)整數(shù)q≥3.1≤l≤q，(l,q)=1。以π(x,q,l)表首項(xiàng)為l、公差為q的算術(shù)級(jí)數(shù)中不超過(guò)x的素?cái)?shù)之個(gè)數(shù)。類(lèi)似于素?cái)?shù)定理，對(duì)于固定的q，容易證明： 式中φ(q)表示不超過(guò)q且與q互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。這就是通常所說(shuō)的算術(shù)級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)定理。關(guān)于誤差項(xiàng)估計(jì)，A.佩奇于1935年和C.L.西格爾與A.瓦爾菲施于1936年證明了：對(duì)任意正數(shù)h，當(dāng)3≤q≤(lnx)時(shí)，有式中с為絕對(duì)正常數(shù)；記號(hào)O中所含的常數(shù)僅與h有關(guān)，而與q無(wú)關(guān)。算術(shù)級(jí)數(shù)中的最小素?cái)?shù)設(shè)k≥3，1≤l≤k，(l,k)=1。以p(k,l)表算術(shù)級(jí)數(shù)knl(n=0,1,2,…)中的最小素?cái)?shù)。S.喬拉猜測(cè)p(k,l)=O(k)，其中ε為任意小的正數(shù)。ю.Β.林尼克于1944年首先證明了存在絕對(duì)常數(shù)с，使得p(k,l)=O(k)。潘承洞于1957年首先指出с是可以計(jì)算的，并定出了с的值。目前最好的結(jié)果с≤17是陳景潤(rùn)于1979年得到的。相鄰素?cái)?shù)之差設(shè)pn是第n個(gè)素?cái)?shù)，是相鄰的兩個(gè)素?cái)?shù)之差。在黎曼假設(shè)下,H.克拉默于1921年證明了無(wú)條件結(jié)果是赫斯－布朗和H.伊瓦尼克于1979年得到的。另一方面，關(guān)于dn的下界，E.邦別里和H.達(dá)文波特于1966年證明了：M.N.赫胥黎于1977年改進(jìn)為E≤0.4425。猜測(cè)應(yīng)有E=0。關(guān)于dn還有許多有趣的研究。新手上路成長(zhǎng)任務(wù)編輯入門(mén)編輯規(guī)則本人編輯我有疑問(wèn)內(nèi)容質(zhì)疑在線客服官方貼吧意見(jiàn)反饋投訴建議舉報(bào)不良信息未通過(guò)詞條申訴投訴侵權(quán)信息封禁查詢(xún)與解封?2024?Baidu?使用百度前必讀?|?百科協(xié)議?|?隱私政策?|?百度百科合作平臺(tái)?|?京ICP證030173號(hào)?京公網(wǎng)安備110000020000素?cái)?shù)(又叫質(zhì)數(shù)) – 整除和素?cái)?shù) – Mathigon
叫質(zhì)數(shù)) – 整除和素?cái)?shù) – Mathigon請(qǐng)?jiān)跒g覽器中啟用 JavaScript 以訪問(wèn)Mathigon。跳過(guò)導(dǎo)航Ploypad課程活動(dòng)課程登入創(chuàng)建新帳戶(hù)課程Ploypad活動(dòng)課程計(jì)劃暗模式更改語(yǔ)言 更改語(yǔ)言English中文DeutschRoman?Türk?e 登錄到MathigonGoogleMicrosoft要么電子郵件或用戶(hù)名密碼新賬戶(hù)? ? ?重設(shè)密碼? ? ?登入整除和素?cái)?shù)因子和倍數(shù)整除規(guī)律素?cái)?shù)(又叫質(zhì)數(shù))素?cái)?shù)的分布最小公倍數(shù)最大公約數(shù)分享詞匯表重置進(jìn)度 分享 重置進(jìn)度這將刪除您在本課程中所有章節(jié)的進(jìn)度和聊天數(shù)據(jù)，并且無(wú)法撤消！立即重置 詞匯表選擇左側(cè)的一個(gè)關(guān)鍵字...整除和素?cái)?shù)素?cái)?shù)(又叫質(zhì)數(shù))閱讀時(shí)間: ~10 min顯示所有步驟我們?cè)谟?jì)算這些除數(shù)對(duì)時(shí)，會(huì)遇到一些只有第一對(duì)除數(shù)的數(shù)。一個(gè)例子是 13 – 它只有 除數(shù)1和13自己。這些特殊的數(shù)被稱(chēng)為_(kāi)_素?cái)?shù)__. 它們不能被拆成兩個(gè)稍小的數(shù)的乘積。 某種程度上，它們成了“原子數(shù)”。注意 1 自身 不是 一個(gè)素?cái)?shù), 所以首批的一些素?cái)?shù)是 2, 3, 5, 7, 11, 13, …任意不是素?cái)?shù)的數(shù)都能被寫(xiě)成素?cái)?shù)的乘積形式：我們只要不斷的把它分解成更多的部分直到所有 因子都是素?cái)?shù)。例如,842×422×213×784=2×2×3×7現(xiàn)在 2, 3 和 7 是素?cái)?shù)而且不能再被分解了。2 × 2 × 3 × 7 被稱(chēng)為84的 質(zhì)因式, 同時(shí) 2, 3 和 7 是它的 質(zhì)因子. 注意一些素?cái)?shù)，比如這里的2，可以在一個(gè)質(zhì)因式 里出現(xiàn)多次。每個(gè)整數(shù)都有一個(gè)質(zhì)因式，但是沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的質(zhì)因式是一樣的。更進(jìn)一步，任意整數(shù) 都只有一種質(zhì)因式寫(xiě)法 – 除非我們把素?cái)?shù)不同順序算成不同寫(xiě)法。這就是 算術(shù)基本定理(FTA-Fundamental Theorem of Arithmetic).利用算術(shù)基本定理能夠使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單多了: 我們做多個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解時(shí)，我們先獨(dú)立 分解一個(gè)個(gè)數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，這樣通常會(huì)簡(jiǎn)單很多，然后把這些結(jié)果組合起來(lái)從而解決原來(lái) 的問(wèn)題。埃拉托色尼篩選法結(jié)果, 很難確定一個(gè)數(shù)是否是素?cái)?shù): 你總是必須找到它 全部 的質(zhì)因數(shù), 隨著數(shù)變大 而變得越難確定。 然而，希臘數(shù)學(xué)家 - 昔蘭尼古城的埃拉托色尼想到了 一個(gè)簡(jiǎn)單的算法來(lái)找出100內(nèi)的全部素?cái)?shù): 埃氏素?cái)?shù)篩選法.123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100首先我們需要寫(xiě)下100內(nèi)的所有整數(shù)我們知道1不是素?cái)?shù)，所以刪掉它。最小的素?cái)?shù)是2. 任何2的倍數(shù)都不是素?cái)?shù)，因?yàn)樗袀€(gè)因子2。所以我們能夠刪掉所有2的倍數(shù)。在我們列表里下一個(gè)數(shù)是3 – 又是個(gè)素?cái)?shù). 所有3的倍數(shù)都不是素?cái)?shù)，因?yàn)樗幸蜃?, 所以我們也能刪掉它們。下一個(gè)數(shù)4, 已經(jīng)被刪掉了，所以我們繼續(xù)下個(gè)數(shù)5: 它又是個(gè)素?cái)?shù), 同理我們刪掉所有5的倍數(shù)。下一個(gè)素?cái)?shù)一定是, 因?yàn)?已經(jīng)被刪掉了. 再一次的，我們刪掉它的倍數(shù)。下一個(gè)素?cái)?shù)是. 但是請(qǐng)注意，它的所有倍數(shù)都是已被刪掉3的倍數(shù)。對(duì)于剩下的所有其它數(shù)也是一樣的情形。因此所有這些剩下的數(shù)都必定是素?cái)?shù)。現(xiàn)在我們可以數(shù)數(shù)了，總共有個(gè)素?cái)?shù)小于100。有多少個(gè)素?cái)?shù)？ 當(dāng)然我們能夠用埃氏素?cái)?shù)篩選法找更大的數(shù)素。在100到200間有21個(gè)素?cái)?shù), 200到300間 有16個(gè)素?cái)?shù)，在400到500間有17個(gè)素?cái)?shù)，而且10000到10100間只有11個(gè)。素?cái)?shù)看起來(lái)在不斷的分散了，但是它們會(huì)終止嗎？ 存在一個(gè) 最大 或 最后 的素?cái)?shù)嗎?古希臘數(shù)學(xué)家亞歷山大的歐幾里德 第一個(gè)證明了存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)的， 通過(guò)下面的論證: 假設(shè)只有有限多個(gè)素?cái)?shù)。P, P, P, P, P讓我們把它們?nèi)肯喑耍玫揭粋€(gè)非常大的數(shù)，我們把它稱(chēng)為N.N = P × P × P × P × P現(xiàn)在我們思考下N + 1. 任何整除N的素?cái)?shù)都不能整除N + 1. 而且因?yàn)樗姓齆的素?cái)?shù)都已經(jīng)被找到了, 它們中也不存在能夠整除N + 1的.P, P, P, P, P NP, P, P, P, P N + 1根據(jù)算術(shù)基本定理我們知道N + 1必定有個(gè)質(zhì)因數(shù)P’, 它不是N + 1自身，也不是其它新的能夠整除N + 1的素?cái)?shù)。P’ N + 1在這兩種情況下，我們找到了一個(gè)新的素?cái)?shù)它卻不在我們的原始列表中，但我們又假設(shè)了所有素?cái)?shù)都在這個(gè)列表中。顯然出了什么問(wèn)題！但是從步驟2–4都是絕對(duì)有效的，唯一的可能性是我們?cè)诓襟E1中的初始假設(shè)是錯(cuò)誤的。這意味著一定有無(wú)窮多個(gè)的素?cái)?shù)。歐幾里得的解釋是歷史上第一個(gè)正式數(shù)學(xué)__證明__的例子 — 表明一個(gè)陳述一定是正確的 邏輯論證。這個(gè)例子通常被稱(chēng)為_(kāi)_反證法__：我們從一個(gè)假設(shè)開(kāi)始，推斷出一些不可能的事情，從而知道我們的假設(shè)一定是錯(cuò)誤的。要顯示更多內(nèi)容，您必須完成以上所有活動(dòng)和練習(xí)。?你被卡住了嗎？ 跳到下一步 要么 顯示所有步驟接下來(lái)：素?cái)?shù)的分布 Archie走近黎曼猜想（二）:質(zhì)數(shù)的分布有什么規(guī)律？|高斯|素?cái)?shù)|自然數(shù)_網(wǎng)易訂閱