100是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)
百度知道 - 信息提示
百度知道 - 信息提示
百度首頁(yè)
商城
注冊(cè)
登錄
網(wǎng)頁(yè)
資訊
視頻
圖片
知道
文庫(kù)
貼吧采購(gòu)
地圖更多
搜索答案
我要提問(wèn)
百度知道>提示信息
知道寶貝找不到問(wèn)題了>_
該問(wèn)題可能已經(jīng)失效。返回首頁(yè)
15秒以后自動(dòng)返回
幫助
?|?意見(jiàn)反饋
?|?投訴舉報(bào)
京ICP證030173號(hào)-1???京網(wǎng)文【2023】1034-029號(hào)???? ?2024Baidu??使用百度前必讀?|?知道協(xié)議?
數(shù)論 - 質(zhì)數(shù)與合數(shù) - 知乎
數(shù)論 - 質(zhì)數(shù)與合數(shù) - 知乎首發(fā)于Tiger愛(ài)數(shù)學(xué)切換模式寫文章登錄/注冊(cè)數(shù)論 - 質(zhì)數(shù)與合數(shù)Tiger?數(shù)學(xué)愛(ài)好者，微信公眾號(hào)“老虎科學(xué)探秘”在自然數(shù)中有一類數(shù)非常特殊，它們叫質(zhì)數(shù)又叫素?cái)?shù)。質(zhì)數(shù)指那些大于1的，且除了1和它自身之外再?zèng)]有其它約數(shù)的自然數(shù)。合數(shù)是指除了1和它自身之外還有其它約數(shù)的自然數(shù)。自然數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有25個(gè)，{2、3、5、7、11......}，2是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)。質(zhì)數(shù)在自然數(shù)的世界中承擔(dān)著重要的角色，就像元素對(duì)于化學(xué)或者粒子對(duì)于物理一樣，從一定的的意義上講，自然數(shù)是由素?cái)?shù)構(gòu)成的。為什么這么講呢？我們看一下算數(shù)基本定理：大于1的自然數(shù)n都可以分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積n=p1^a1 x p2^2 x ...x pn^an; p1、p2、......、pn都是質(zhì)數(shù)，a1、a2、......、an都是大于0的自然數(shù)。這就是分解質(zhì)因數(shù)，算數(shù)基本定理告訴我們兩件事：對(duì)于任一大于1的自然數(shù)，一定可以分解成以上的形式對(duì)于任一大于1的自然數(shù)，這個(gè)分解形式具有唯一性（不計(jì)質(zhì)數(shù)的排列次序）質(zhì)數(shù)是不是有限個(gè)？當(dāng)然不是，我們看看歐幾里得是怎么證明的：假設(shè)質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，有n個(gè)，把所有的質(zhì)數(shù)有小到大排列p1、p2、......、pn存在N=p1 x p2 x......x pn +1, N一定大于pn如果N是質(zhì)數(shù)，說(shuō)明存在一個(gè)大于pn的質(zhì)數(shù)N；如果N是合數(shù)，那么N一定可以被某個(gè)質(zhì)數(shù)整除，但所有的n個(gè)質(zhì)數(shù)p1、p2、......、pn都不能整除N，因?yàn)樗鼈兂齆都余1，一定在n個(gè)質(zhì)數(shù)之外還有質(zhì)數(shù)，所以假設(shè)不成立，質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)。來(lái)個(gè)題玩玩：證明存在自然數(shù)n，使得n+1、n+2、......、n+2019都是合數(shù)。其實(shí)只需使得n=2020!+1，那么2020!+2、2020!+3、......、2020!+2020都是合數(shù)。這個(gè)證明很容易，但結(jié)論卻很有趣，換句話說(shuō)，你總可以找到任意多個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們中都不會(huì)出現(xiàn)質(zhì)數(shù)。再來(lái)一個(gè)：從1~100，任意取一些不同的數(shù)相乘使得它們的乘積是平方數(shù)，有多少種取法？關(guān)\注\公\眾\號(hào)“老虎科學(xué)探秘”后臺(tái)回復(fù)191128，我們來(lái)對(duì)對(duì)答案吧！編輯于 2020-05-06 17:15初等數(shù)論小學(xué)奧數(shù)初中數(shù)學(xué)?贊同 25??3 條評(píng)論?分享?喜歡?收藏?申請(qǐng)轉(zhuǎn)載?文章被以下專欄收錄Tiger
什么是質(zhì)數(shù)與合數(shù)？ - 知乎
什么是質(zhì)數(shù)與合數(shù)？ - 知乎切換模式寫文章登錄/注冊(cè)什么是質(zhì)數(shù)與合數(shù)？易考360管理類聯(lián)考易考360管理類聯(lián)考考研輔導(dǎo)什么是質(zhì)數(shù)？什么是合數(shù)？1是質(zhì)數(shù)嗎？2是合數(shù)嗎？聯(lián)考中經(jīng)?？寄男?shù)？這些看似基礎(chǔ)卻又經(jīng)常搞錯(cuò)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，常令考生在考試中失分，今天就帶大家捋一捋！質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)（約數(shù)），那么這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。比如7，只有1和7兩個(gè)約數(shù)。合數(shù)：除了能被1和它本身整除，還能被其他的正整數(shù)整除，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。比如8，有1、2、4和8四個(gè)約數(shù)。所以說(shuō)，因數(shù)個(gè)數(shù)為2，則是質(zhì)數(shù)；因數(shù)個(gè)數(shù)大于2，則是合數(shù)。那“1”因數(shù)只有1個(gè)，是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)呢？答案是，既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，因?yàn)樗挥斜旧硪粋€(gè)因數(shù)，不符合質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩個(gè)定義。在聯(lián)考中會(huì)考啥？怎么考呢？1、30以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。2、2是唯一一個(gè)偶數(shù)質(zhì)數(shù)，且常作為考點(diǎn)！其他質(zhì)數(shù)均是奇數(shù)！例：如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)，那么其中必有一個(gè)數(shù)是2！ 如果三個(gè)質(zhì)數(shù)之和為偶數(shù)，那么其中必有一個(gè)數(shù)是2！同學(xué)們能繞過(guò)來(lái)嗎？接下來(lái)讓我們看一道例題，聯(lián)考是怎么考的呢？例：設(shè)m、n是小于20的質(zhì)數(shù)，滿足條件|m-n|=2的{m，n}共有（ ）。A.2組 B.3組 C.4組 D.5組 E.8組答案解析：C。枚舉思維（20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19），顯然，有3,5；5,7；11,13；17,19。共4組，這里要弄清楚3,5和5,3是一樣的，集合數(shù)數(shù)列的區(qū)別，有序與無(wú)序！若問(wèn)的是m，n取值有集中情況，則為8種。怎么樣，同學(xué)們都清楚了嗎？編輯于 2022-04-08 11:01數(shù)學(xué)?贊同 5??添加評(píng)論?分享?喜歡?收藏?申請(qǐng)
質(zhì)（素）數(shù)表: 1 - 100
質(zhì)（素）數(shù)表: 1 - 100
首頁(yè)
|
菜單
|
宣傳
|
協(xié)助改進(jìn)翻譯
質(zhì)（素）數(shù)表
Next123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100Next
質(zhì)數(shù)表是一種方便的顯示質(zhì)數(shù)分布的方式。 質(zhì)數(shù)顯示在綠色的地方。點(diǎn)擊一個(gè)數(shù)去查看更多詳細(xì)信息，包括合數(shù)。質(zhì)數(shù)表顯示的數(shù)高達(dá)10000。使用 質(zhì)數(shù)計(jì)算器，以找出任意一個(gè)數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，以及質(zhì)因數(shù)分解器，以計(jì)算任意合數(shù)的因數(shù)。
支持的函數(shù)和運(yùn)算
數(shù)學(xué)工具
導(dǎo)數(shù)計(jì)算
不定積分計(jì)算器
定積分計(jì)算器
極限計(jì)算器
級(jí)數(shù)計(jì)算器
方程求解器
表達(dá)式化簡(jiǎn)器
因式分解計(jì)算器
表達(dá)式計(jì)算器
反函數(shù)
泰勒展開(kāi)計(jì)算器
矩陣計(jì)算器（其他運(yùn)算）
矩陣計(jì)算器（加、減、乘）
函數(shù)圖像繪制工具
平面圖形計(jì)算器
立體圖形計(jì)算器
質(zhì)數(shù)
分解質(zhì)因數(shù)工具
斐波那契數(shù)
伯努利數(shù)
歐拉數(shù)生成器
復(fù)數(shù)計(jì)算器
階乘計(jì)算器
伽馬函數(shù)計(jì)算器
組合數(shù)計(jì)算器
分?jǐn)?shù)計(jì)算器
統(tǒng)計(jì)工具
LaTeX 公式編輯器
數(shù)字的性質(zhì)
0 / 12
例如:
3628800,
9876543211,
12586269025
化學(xué)工具
適用于網(wǎng)站的數(shù)學(xué)工具
選擇語(yǔ)言:
Deutsch
English
Espa?ol
Fran?ais
Italiano
Nederlands
Polski
Português
Русский
中文
日本語(yǔ)
???
數(shù)字帝國(guó) - 眾人皆宜的強(qiáng)大數(shù)學(xué)工具 | 聯(lián)系站長(zhǎng)
使用本網(wǎng)站即表示您接受《使用條款》和《隱私政策》。
? 2024
numberempire.com
版權(quán)所有
?
?
怎樣優(yōu)雅地判斷一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)？ - 知乎
怎樣優(yōu)雅地判斷一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)？ - 知乎切換模式寫文章登錄/注冊(cè)怎樣優(yōu)雅地判斷一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)？忘憂北萱草輕度自由。質(zhì)數(shù)人類對(duì)數(shù)論的研究可以追溯到公元前，在數(shù)論研究的悠久歷史中，質(zhì)數(shù)是一個(gè)永恒的話題。對(duì)于質(zhì)數(shù)的判定，也永遠(yuǎn)是一個(gè)迷人的問(wèn)題。我們這樣定義質(zhì)數(shù)：如果自然數(shù) p > 1 的因數(shù)只有1和它本身，那么 p 是質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)有很多美妙的性質(zhì)，比如：如果一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么它是自然數(shù)。如果一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么它不是合數(shù)。如果一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么它大于等于2。相信我們聰明的讀者不難證明這些性質(zhì)。接下來(lái)，讓我們進(jìn)入正題：如何判定一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)？入門版素?cái)?shù)判定這種高深的數(shù)論問(wèn)題，用一般的編程語(yǔ)言肯定難以優(yōu)雅地實(shí)現(xiàn)。所以，我們必須使用 Wolfram Language 這樣專門用于數(shù)學(xué)計(jì)算的語(yǔ)言，才能寫出“出淤泥而不染，濯清漣而不妖”的美妙實(shí)現(xiàn)。你是素?cái)?shù)嗎 = PrimeQ;我們來(lái)看一個(gè)例子：這種純粹的感覺(jué)，就像在QQ群里at你的同學(xué)一樣自然！但是，我們不能沉溺于舒適區(qū)，要勇于面對(duì)自己，我們要前往混沌邪惡的 C++ 領(lǐng)域。初級(jí)版在進(jìn)入這一章節(jié)之前，我們需要一些十分復(fù)雜的數(shù)論推導(dǎo)，不喜歡看公式的同學(xué)可以暫時(shí)跳過(guò)下面一小段。要判斷一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，其實(shí)和判斷一個(gè)數(shù)是不是合數(shù)沒(méi)有太大區(qū)別。要判斷一個(gè)數(shù)是合數(shù)，按照定義來(lái)看，只需要找到一個(gè)不是1和它本身的因數(shù)就可以。如果我們對(duì)一個(gè)數(shù) n，找到了這樣的因數(shù) m，也就是 m 整除 n，此時(shí)一定會(huì)有 m \le n 。所以，我們只需要在 2~n-1 的范圍內(nèi)尋找 n 的因數(shù)就可以了。上面的推導(dǎo)中居然出現(xiàn)了整整一個(gè)公式！我這篇回答的讀者要跑掉一半了！根據(jù)上面的數(shù)論推導(dǎo)，我們可以寫出如下的質(zhì)數(shù)判斷程序：bool 你是質(zhì)數(shù)嗎(int n) {
if (n <= 1) return false;
for(int i = 2; i < n; ++i)
if (n % i == 0) return false;
return true;
}
在這里，我們約定負(fù)數(shù)和0不是質(zhì)數(shù)。看 C++ 這混沌邪惡的語(yǔ)法，反人類的 for 循環(huán)，甚至連 bool 都只是語(yǔ)法糖，在輸出的時(shí)候只能給出一個(gè)冷冰冰的 0 和 1，一點(diǎn)不考慮用戶體驗(yàn)……高級(jí)版在上面的算法中，我們需要窮舉2~n-1的所有整數(shù)。真的就沒(méi)有改進(jìn)方法了嗎？在古希臘時(shí)期，有一位數(shù)學(xué)家叫埃拉托斯特尼，提出了一種方法，叫做埃拉托斯特尼篩法。埃拉托斯特尼篩法是非常經(jīng)典的質(zhì)數(shù)判定算法，在各種要求精確解的質(zhì)數(shù)判定中，大多數(shù)都能見(jiàn)到埃拉托斯特尼篩法的影子。在這里，我必須多次重復(fù)埃拉托斯特尼這個(gè)長(zhǎng)的要命的名字，以表達(dá)我對(duì)埃拉托斯特尼這位偉大先賢的崇高敬意。埃拉托斯特尼篩法的思想可以給我們很大的啟發(fā)，埃拉托斯特尼篩法指導(dǎo)我們進(jìn)一步縮小因數(shù)的搜索范圍。為此，我們?nèi)匀恍枰訌?fù)雜的數(shù)論推導(dǎo)。對(duì)于合數(shù) n，我們可以證明它一定有一個(gè)小于等于 \sqrt{n} 的非平凡因數(shù)。這里的非平凡因數(shù)，指的是和1與他本身不同的因數(shù)。如果不是，那么它所有的非平凡因數(shù)都是大于 \sqrt{n} 的。我們?nèi)稳∑渲幸粋€(gè)和n不同的非平凡因數(shù) m，那么存在整數(shù) k 使 n=km，那么 k 也為 n 的非平凡因數(shù)，但是 k=\frac{n}{m}<\sqrt{n} ，矛盾。所以合數(shù) n 一定有一個(gè)小于等于 \sqrt{n} 的非平凡因數(shù)。到現(xiàn)在為止我已經(jīng)用了5個(gè)公式了！我的讀者已經(jīng)只剩1/32了！因此，我們只需要在2到 \left[ \sqrt{n} \right] 之間尋找 n 的因數(shù)。（這里的 \left[ x \right] 表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)。）不對(duì)，我怎么又用了兩個(gè)公式……bool 你是質(zhì)數(shù)嗎(int n) {
if (n <= 1) return false;
for(int i = 2; i * i <= n; ++i)
if (n % i == 0) return false;
return true;
}
超極版我們剛才的算法都是按照質(zhì)數(shù)的定義，去找一個(gè)數(shù)有沒(méi)有因數(shù)，這種做法太 naive 了。那么，有沒(méi)有什么能判定質(zhì)數(shù)的高級(jí)定理呢？為了寫這篇文章，我耗費(fèi)了整整180秒上網(wǎng)查資料，找到了這么一個(gè)定理：威爾遜定理：對(duì)于自然數(shù) p>1，p 是質(zhì)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} 。我怎么又用了公式！還用了同余符號(hào)！我的讀者會(huì)全跑掉的啊！按照上面的想法，我們只要求出 (p-1)!+1 除以 p 的余數(shù)，看看是不是0就好了。bool 你是質(zhì)數(shù)嗎(int n) {
if (n <= 1) return false;
int factor = 1;
for(int i = 2; i < n; ++i)
factor = ((long long)factor * i) % n;
factor = (factor + 1) % n;
return factor == 0;
}
等等，這個(gè)算法好像比上面兩個(gè)都要慢??！速度什么不重要，重要的是讓別人知道了我們能熟練運(yùn)用威爾遜定理這樣高級(jí)的數(shù)論定理。還有，那個(gè)說(shuō)在項(xiàng)目里這么寫代碼的會(huì)被人打死的站出bubyguoi;ohugkbvfdsvvgrt4u上D版上D與你同在感謝上D把我復(fù)活，我又能回來(lái)寫文章了。剛才的方法，無(wú)一例外都是基于簡(jiǎn)單的數(shù)論原理，這種人工設(shè)計(jì)的算法難以發(fā)揮計(jì)算機(jī)真正的性能。我們要逃脫手工設(shè)計(jì)算法的桎梏，進(jìn)入機(jī)器學(xué)習(xí)的神圣殿堂。于是我又花了整整200秒去查找資料，終于在一篇知乎回答中找到了實(shí)現(xiàn)方法：作者使用了端到端的雙層 LSTM 網(wǎng)絡(luò)，將數(shù)字轉(zhuǎn)為字符串輸入，在質(zhì)數(shù)判定問(wèn)題上進(jìn)行了1分鐘的訓(xùn)練，效果拔群。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)會(huì)了“不管你輸入啥只要我蒙合數(shù)總比蒙質(zhì)數(shù)對(duì)的多”。按照這一思想，我們得出了一個(gè)對(duì)幾乎全部自然數(shù)正確的質(zhì)數(shù)判定算法：bool 你是質(zhì)數(shù)嗎(int n) {
return false;
}
多么簡(jiǎn)潔的邏輯！機(jī)器學(xué)習(xí)讓我們發(fā)現(xiàn)了世界的本質(zhì)，就是大道至簡(jiǎn)！只要我們?cè)敢馍釛壞敲匆唬▋|）點(diǎn)點(diǎn)正確性，一切都是如此簡(jiǎn)單！撒D版歡迎來(lái)到D獄上D的算法沒(méi)能給我們很大的幫助，但是這種思想給了我們一點(diǎn)啟發(fā)：算法的能力是有極限的。我從短暫的 OI 生活當(dāng)中學(xué)到一件事：越是玩弄優(yōu)化，就越會(huì)發(fā)現(xiàn)算法被時(shí)間復(fù)雜度所限制……除非超越算法。你到底想說(shuō)什么？我不做人了，JOJO！（劃去）我不要精確度了！于是我們祭出了費(fèi)馬小定理：如果 p 是素?cái)?shù)，那么有 a^p \equiv a \pmod p 。雖然費(fèi)馬小定理的逆命題是不成立的，但是不排除它在絕大多數(shù)情況下都是成立的。為了方便計(jì)算，取 a=2，于是我們又得出了一個(gè)對(duì)幾乎全部自然數(shù)正確的質(zhì)數(shù)判定算法：bool 你是質(zhì)數(shù)嗎(int n) {
if (n <= 1) return false;
int t = 1, m = 2, p = n;
while(p) { // 快速冪取模
if (p % 2) t = ((long long)t * m) % n;
m = (m * m) % n;
p >>= 1;
}
t = (t - 2) % n;
return t == 0;
}
這個(gè)算法的速度相比之前的算法，完全不在一個(gè)數(shù)量級(jí)上，只是精確度稍微差了那么一（億）點(diǎn)點(diǎn)。比如經(jīng)典的卡邁克數(shù)561，它雖然是合數(shù)（561=3×11×17），但是會(huì)被這個(gè)算法判定為質(zhì)數(shù)。但是，如果我們對(duì)這一算法進(jìn)行一（億）點(diǎn)點(diǎn)改進(jìn)，就能得到大名鼎鼎的 Miller-Rabin 素性檢驗(yàn)算法[1]。這一算法在費(fèi)馬小定理之外，還需要另一個(gè)更加復(fù)雜的數(shù)論定理：二次檢驗(yàn)定理：對(duì)于質(zhì)數(shù) p，在0~p-1范圍內(nèi)，滿足 x^2\equiv 1\pmod p 的整數(shù)只有 1 和 p-1。證明就留做習(xí)題吧。根據(jù)二次檢驗(yàn)定理，對(duì)于一個(gè)整數(shù) x，如果 x^2,x^4,x^8,\cdots 除以 n 的余數(shù)都不為1，那么 n 就很有可能是一個(gè)質(zhì)數(shù)。然后我們?cè)侔奄M(fèi)馬小定理?yè)Q個(gè)形式，如果 a^{n-1} 除以 n 的余數(shù)為1，那么 n 很可能是一個(gè)質(zhì)數(shù)。接下來(lái)，就是撒D賜予我們的鬼才邏輯了。首先把 n-1 分解為 2^s\cdot t ，接著再把 a^t 不斷平方，每平方一次，進(jìn)行一次二次檢驗(yàn)，這樣平方 s 次之后，恰好就求出了 a^{n-1} 。int prime[10]={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
bool 你是質(zhì)數(shù)嗎(int n) {
if (n <= 1) return false;
if (n == 2) return true;
int s = 0, t = n - 1;
while (!(t % 2)) ++s, t >>= 1; // 求解 n-1=2^s*t
for (int i = 0; i < 10 && prime[i] < n; ++i) {
int a = prime[i];
int b = 1, m = a, p = t;
while (p) { //快速冪，求 b=a^t
if (p % 2) b = ((long long) b * m) % n;
m = ((long long)m * m) % n;
p >>= 1;
}
if (b == 1) continue;
for (int j = 1; j <= s; ++j) { // 進(jìn)行 s 次二次檢驗(yàn)
int k = ((long long)b * b) % n;
if(k == 1 && b != n-1) return false;
b = k;
}
if (b != 1) return false;
}
return true;
}
這里選取了前10個(gè)質(zhì)數(shù)作為底，已經(jīng)可以規(guī)避絕大多數(shù)的誤檢情況。最后的最后也許質(zhì)數(shù)檢驗(yàn)這一個(gè)問(wèn)題并不像它看上去的那么簡(jiǎn)單。在它的背后，蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)原理。2002年，來(lái)自印度坎普爾理工學(xué)院的計(jì)算機(jī)科學(xué)家，Manindra Agrawal、Neeraj Kayal和Nitin Saxena，發(fā)表了論文 PRIMES is in P[2]，提出了第一個(gè)一般的、確定性的、不依賴未證明命題的多項(xiàng)式時(shí)間素?cái)?shù)判定算法，作者們也因此獲得了哥德?tīng)柂?jiǎng)和富爾克森獎(jiǎng)?；赜^這篇文章中提到的算法，每一次進(jìn)步都離不開(kāi)跳出框架局囿的創(chuàng)新思考。要敢于打破那些固有認(rèn)知中的限制。也許哪一天，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)判別質(zhì)數(shù)這樣看起來(lái)根本不可能的想法，也會(huì)變成現(xiàn)實(shí)呢。參考^Hurd J. Verification of the Miller–Rabin probabilistic primality test[J]. The Journal of Logic and Algebraic Programming, 2003, 56(1-2): 3-21.^Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P", Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.發(fā)布于 2020-03-17 12:57初等數(shù)論素?cái)?shù)數(shù)論?贊同 274??22 條評(píng)論?分享?喜歡?收藏?申請(qǐng)
怎么通俗的解釋質(zhì)數(shù)和合數(shù)？ - 知乎
怎么通俗的解釋質(zhì)數(shù)和合數(shù)？ - 知乎首頁(yè)知乎知學(xué)堂發(fā)現(xiàn)等你來(lái)答?切換模式登錄/注冊(cè)數(shù)論素?cái)?shù)初等數(shù)論怎么通俗的解釋質(zhì)數(shù)和合數(shù)？關(guān)注者3被瀏覽7,596關(guān)注問(wèn)題?寫回答?邀請(qǐng)回答?好問(wèn)題?添加評(píng)論?分享?5 個(gè)回答默認(rèn)排序李仲堅(jiān)1948? 關(guān)注質(zhì)數(shù)也稱素?cái)?shù)。依整除性定義：素?cái)?shù)只能被常數(shù)1或自己整除，不能被常數(shù)1或自己以外的其他數(shù)整除，那么，這種正整數(shù)稱為素?cái)?shù)。乘積判斷：素?cái)?shù)只能用常數(shù)1乘以自己，不能用其他數(shù)兩個(gè)數(shù)的乘積替補(bǔ)的正整數(shù)。合數(shù)：除了能被常數(shù)1或自己整除，還能被常數(shù)1或自己以外的正整數(shù)整除。合數(shù)的乘積，除了常數(shù)1乘以自己外，還能用其他兩個(gè)正整數(shù)的乘積而確定。發(fā)布于 2020-03-08 15:13?贊同 3??添加評(píng)論?分享?收藏?喜歡收起?羅胖子數(shù)學(xué)課堂堅(jiān)持學(xué)習(xí)，堅(jiān)持分享? 關(guān)注質(zhì)數(shù)和合數(shù)最快分辨的方法是什么？6529 播放 · 1 贊同發(fā)布于 2022-06-04 15:39· 418 次播放?贊同??添加評(píng)論?分享?收藏?喜歡
合數(shù) - 維基百科，自由的百科全書(shū)
合數(shù) - 維基百科，自由的百科全書(shū)
跳轉(zhuǎn)到內(nèi)容
主菜單
主菜單
移至側(cè)欄
隱藏
導(dǎo)航
首頁(yè)分類索引特色內(nèi)容新聞動(dòng)態(tài)最近更改隨機(jī)條目資助維基百科
幫助
幫助維基社群方針與指引互助客棧知識(shí)問(wèn)答字詞轉(zhuǎn)換IRC即時(shí)聊天聯(lián)絡(luò)我們關(guān)于維基百科
搜索
搜索
創(chuàng)建賬號(hào)
登錄
個(gè)人工具
創(chuàng)建賬號(hào) 登錄
未登錄編輯者的頁(yè)面 了解詳情
貢獻(xiàn)討論
目錄
移至側(cè)欄
隱藏
序言
1性質(zhì)
2合數(shù)的類型
3腳注
4參考文獻(xiàn)
5相關(guān)條目
開(kāi)關(guān)目錄
合數(shù)
67種語(yǔ)言
??????????????AsturianuAz?rbaycancaБеларускаяБългарски?????Català??????e?tinaCymraegDanskDeutschΕλληνικ?EnglishEsperantoEspa?olEestiEuskara?????SuomiNa Vosa VakavitiFran?aisGalego???????????HrvatskiMagyar???????Bahasa IndonesiaItaliano日本語(yǔ)???LatinaLietuvi?Latvie?u??????МонголBahasa MelayuNederlandsNorsk nynorskNorsk bokm?l?????Polski????PortuguêsRoman?РусскийSimple EnglishSloven?inaSloven??inaСрпски / srpskiSvenskaKiswahili?l?nski??????????????Türk?eУкра?нська????Ti?ng Vi?t吳語(yǔ)??????文言Ban-lam-gú粵語(yǔ)
編輯鏈接
條目討論
簡(jiǎn)體
不轉(zhuǎn)換簡(jiǎn)體繁體大陸簡(jiǎn)體香港繁體澳門繁體大馬簡(jiǎn)體新加坡簡(jiǎn)體臺(tái)灣正體
閱讀編輯查看歷史
工具
工具
移至側(cè)欄
隱藏
操作
閱讀編輯查看歷史
常規(guī)
鏈入頁(yè)面相關(guān)更改上傳文件特殊頁(yè)面固定鏈接頁(yè)面信息引用本頁(yè)獲取短URL下載二維碼維基數(shù)據(jù)項(xiàng)目
打印/導(dǎo)出
下載為PDF可打印版
維基百科，自由的百科全書(shū)
用古氏積木排列出合數(shù)10的因數(shù)
合數(shù)（右側(cè)紅色部份）可以用長(zhǎng)寬都不是1的長(zhǎng)方形來(lái)表示，但質(zhì)數(shù)（左側(cè)藍(lán)色部份）只能用其中一邊長(zhǎng)是1的長(zhǎng)方形表示
在數(shù)論中，合數(shù)（也稱為合成數(shù)）是除了1和其本身外具有其他正因數(shù)的正整數(shù)[1][2]。依照定義，每一個(gè)大于1的整數(shù)若不是質(zhì)數(shù)，就會(huì)是合數(shù)[3][4]。而1則被認(rèn)為不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
例如，整數(shù)14是一個(gè)合數(shù)，因?yàn)樗梢员环纸獬?/p>
2
×
7
{\displaystyle 2\times 7}
。而整數(shù)2無(wú)法再找到本身和1以外的正因數(shù)，因此不是合數(shù)。
起初120個(gè)合數(shù)為： 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...等等（OEIS數(shù)列A002808）。
每一個(gè)合數(shù)都可以寫成二個(gè)或多個(gè)質(zhì)數(shù)（不一定是相異質(zhì)數(shù)）的乘積[2]。例如，合數(shù)299可以寫成13 × 23，合數(shù)360可以寫成23 × 32 × 5，而且若將質(zhì)因數(shù)依大小排列后，此表示法是唯一的。這是算術(shù)基本定理[5][6][7][8]。
有許多的素性測(cè)試可以在不進(jìn)行因數(shù)分解的情形下，判斷一數(shù)字是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。
性質(zhì)[編輯]
所有大于2的偶數(shù)都是合數(shù)，也就是在正整數(shù)中除了2以外，其馀數(shù)的個(gè)位數(shù)為0、2、4、6、8者均為合數(shù)。4為最小的合數(shù)。
每一合數(shù)都可以以唯一形式被寫成質(zhì)數(shù)的乘積。（算術(shù)基本定理）
所有合數(shù)都有至少3個(gè)正因數(shù)，例如4有正因數(shù)1、2、4，6有正因數(shù)1、2、3、6。
對(duì)任一大于5的合數(shù)
n
{\displaystyle n}
，
(
n
?
1
)
!
≡
0
(
mod
n
)
{\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}}
。（威爾遜定理）
對(duì)于任意的正整數(shù)
n
{\displaystyle n}
，都可以找到一個(gè)正整數(shù)
x
{\displaystyle x}
，使得
x
{\displaystyle x}
、
x
+
1
{\displaystyle x+1}
、
x
+
2
{\displaystyle x+2}
、…、
x
+
n
{\displaystyle x+n}
都是合數(shù)。
合數(shù)的類型[編輯]
100以內(nèi)的過(guò)剩數(shù)、本原過(guò)剩數(shù)、高過(guò)剩數(shù)、超過(guò)剩數(shù)、可羅薩里過(guò)剩數(shù)、高合成數(shù)、superior highly composite number（英語(yǔ)：superior highly composite）、奇異數(shù)和完全數(shù)的歐拉圖，以及和虧數(shù)、合數(shù)的關(guān)系
分類合數(shù)的一種方法為計(jì)算其質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)。一個(gè)可表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之乘積的合數(shù)稱為半質(zhì)數(shù)，有三個(gè)質(zhì)因數(shù)的合數(shù)則稱為楔形數(shù)。在一些的應(yīng)用中，亦可以將合數(shù)分為有奇數(shù)的質(zhì)因數(shù)的合數(shù)及有偶數(shù)的質(zhì)因數(shù)的合數(shù)。對(duì)于后者，
μ
(
n
)
=
(
?
1
)
2
x
=
1
{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1}
（其中μ為默比烏斯函數(shù)且
x
{\displaystyle x}
為質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)的一半），而前者則為
μ
(
n
)
=
(
?
1
)
2
x
+
1
=
?
1
{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1}
注意，對(duì)于質(zhì)數(shù)，此函數(shù)會(huì)傳回-1，且
μ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \mu (1)=1}
。而對(duì)于有一個(gè)或多個(gè)重復(fù)質(zhì)因數(shù)的數(shù)字
n
{\displaystyle n}
，
μ
(
n
)
=
0
{\displaystyle \mu (n)=0}
。
另一種分類合數(shù)的方法為計(jì)算其正因數(shù)的個(gè)數(shù)。所有的合數(shù)都至少有三個(gè)正因數(shù)。一質(zhì)數(shù)
p
{\displaystyle p}
的平方，其正因數(shù)有
{
1
,
p
,
p
2
}
{\displaystyle \{1,p,p^{2}\}}
。一數(shù)若有著比它小的整數(shù)都還多的正因數(shù)，則稱此數(shù)為高合成數(shù)。另外，完全平方數(shù)的正因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，而其他的合數(shù)則皆為偶數(shù)個(gè)。
還有一種將合數(shù)分類的方式，是檢查其質(zhì)因數(shù)是否都比特定數(shù)字大，或是比特定數(shù)字小。這些會(huì)稱為光滑數(shù)或粗糙數(shù)。
腳注[編輯]
^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, pp.?23–24)
^ 2.0 2.1 Long (1972, p.?16)
^ Fraleigh (1976, pp.?198,266)
^ Herstein (1964, p.?106)
^ Fraleigh (1976, p.?270)
^ Long (1972, p.?44)
^ McCoy (1968, p.?85)
^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p.?53)
參考文獻(xiàn)[編輯]
Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN?0-201-01984-1?
Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN?978-1114541016?
Long, Calvin T., Elementary Introduction to Number Theory 2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN?77-171950?
McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN?68-15225?
Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN?77-81766?
相關(guān)條目[編輯]
維基教科書(shū)中的相關(guān)電子教程：小學(xué)數(shù)學(xué)/質(zhì)數(shù)與合數(shù)
質(zhì)數(shù)
質(zhì)因數(shù)
最小公倍數(shù)
最大公因數(shù)
整數(shù)分解
埃拉托斯特尼篩法
素因子表
查論編和因數(shù)有關(guān)的整數(shù)分類簡(jiǎn)介
質(zhì)因數(shù)分解
因數(shù)
元因數(shù)
除數(shù)函數(shù)
質(zhì)因數(shù)
算術(shù)基本定理
依因數(shù)分解分類
質(zhì)數(shù)
合數(shù)
半素?cái)?shù)
普洛尼克數(shù)
楔形數(shù)
無(wú)平方數(shù)因數(shù)的數(shù)
冪數(shù)
質(zhì)數(shù)冪
平方數(shù)
立方數(shù)
次方數(shù)
阿喀琉斯數(shù)
光滑數(shù)
正規(guī)數(shù)
粗糙數(shù)
不尋常數(shù)
依因數(shù)和分類
完全數(shù)
殆完全數(shù)
準(zhǔn)完全數(shù)
多重完全數(shù)
Hemiperfect數(shù)
Hyperperfect number（英語(yǔ)：Hyperperfect number）
超完全數(shù)
元完全數(shù)
半完全數(shù)
本原半完全數(shù)
實(shí)際數(shù)
有許多因數(shù)
過(guò)剩數(shù)
本原過(guò)剩數(shù)
高過(guò)剩數(shù)
超過(guò)剩數(shù)
可羅薩里過(guò)剩數(shù)
高合成數(shù)
Superior highly composite number（英語(yǔ)：Superior highly composite number）
奇異數(shù)
和真因子和數(shù)列有關(guān)
不可及數(shù)
相親數(shù)
交際數(shù)
婚約數(shù)
其他
虧數(shù)
友誼數(shù)
孤獨(dú)數(shù)
卓越數(shù)
歐爾調(diào)和數(shù)
佩服數(shù)
節(jié)儉數(shù)
等數(shù)位數(shù)
奢侈數(shù)
取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=合數(shù)&oldid=73944684”
分類：?初等數(shù)論算術(shù)整數(shù)數(shù)列
本頁(yè)面最后修訂于2022年10月4日 (星期二) 14:52。
本站的全部文字在知識(shí)共享 署名-相同方式共享 4.0協(xié)議之條款下提供，附加條款亦可能應(yīng)用。（請(qǐng)參閱使用條款）
Wikipedia?和維基百科標(biāo)志是維基媒體基金會(huì)的注冊(cè)商標(biāo)；維基?是維基媒體基金會(huì)的商標(biāo)。
維基媒體基金會(huì)是按美國(guó)國(guó)內(nèi)稅收法501(c)(3)登記的非營(yíng)利慈善機(jī)構(gòu)。
隱私政策
關(guān)于維基百科
免責(zé)聲明
行為準(zhǔn)則
開(kāi)發(fā)者
統(tǒng)計(jì)
Cookie聲明
手機(jī)版視圖
開(kāi)關(guān)有限寬度模式
百度知道 - 信息提示
百度知道 - 信息提示
百度首頁(yè)
商城
注冊(cè)
登錄
網(wǎng)頁(yè)
資訊
視頻
圖片
知道
文庫(kù)
貼吧采購(gòu)
地圖更多
搜索答案
我要提問(wèn)
百度知道>提示信息
知道寶貝找不到問(wèn)題了>_
該問(wèn)題可能已經(jīng)失效。返回首頁(yè)
15秒以后自動(dòng)返回
幫助
?|?意見(jiàn)反饋
?|?投訴舉報(bào)
京ICP證030173號(hào)-1???京網(wǎng)文【2023】1034-029號(hào)???? ?2024Baidu??使用百度前必讀?|?知道協(xié)議?
學(xué)生作品 | 如何快速區(qū)分100以內(nèi)質(zhì)數(shù)與合數(shù)（一）_倍數(shù)
學(xué)生作品 | 如何快速區(qū)分100以內(nèi)質(zhì)數(shù)與合數(shù)（一）_倍數(shù)
新聞
體育
汽車
房產(chǎn)
旅游
教育
時(shí)尚
科技
財(cái)經(jīng)
娛樂(lè)
更多
母嬰
健康
歷史
軍事
美食
文化
星座
專題
游戲
搞笑
動(dòng)漫
寵物
無(wú)障礙
關(guān)懷版
學(xué)生作品 | 如何快速區(qū)分100以內(nèi)質(zhì)數(shù)與合數(shù)（一）
2020-03-01 20:35
來(lái)源:
南明數(shù)學(xué)
原標(biāo)題：學(xué)生作品 | 如何快速區(qū)分100以內(nèi)質(zhì)數(shù)與合數(shù)（一）
本文來(lái)自橄欖樹(shù)教室 寒同學(xué)
發(fā)明數(shù)學(xué)，創(chuàng)造數(shù)學(xué)
像數(shù)學(xué)家一樣思考 數(shù)學(xué)精彩觀念的誕生
數(shù)學(xué)可以越學(xué)越容易嗎？貞元數(shù)學(xué)告訴你：當(dāng)然可以！
編者按：
這段時(shí)間雖然在網(wǎng)絡(luò)的課堂上看不到孩子們的面容，但是從他們激烈的討論中已經(jīng)感受到了往日的神采飛揚(yáng)，自然數(shù)正被這群勇于探索的孩子們口里說(shuō)著，心里記著，筆下流淌著......
如何快速區(qū)分質(zhì)數(shù)與合數(shù)？這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)有一定的難度，但是如果仔細(xì)分析一下還是很簡(jiǎn)單的。
質(zhì)數(shù)的定義是什么？質(zhì)數(shù)就是一個(gè)數(shù)除了自身和1，沒(méi)有其它的因數(shù)。也就是說(shuō)，因數(shù)的個(gè)數(shù)只有2個(gè)數(shù)的都是質(zhì)數(shù)。先畫(huà)一個(gè)百數(shù)表，這樣確定起來(lái)很方便。
10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，我們可以先找出來(lái)。這時(shí)我發(fā)現(xiàn)除2以外的偶數(shù)都是合數(shù)。那么100以內(nèi)的數(shù)字里面都存在這樣的規(guī)律嗎？針對(duì)這個(gè)疑問(wèn)，我們討論一下偶數(shù)是怎么定義的：能被2整除的數(shù)稱為偶數(shù)。除了2以外，其它的偶數(shù)肯定都有因數(shù)2，所以所有的偶數(shù)（0和2除外）肯定就是合數(shù)。
同理，還有5的倍數(shù)和3的倍數(shù)。我們可以再畫(huà)個(gè)百數(shù)表，把5的倍數(shù)和3的倍數(shù)畫(huà)出來(lái)，并且找規(guī)律。
我發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)確認(rèn)法就是把兩位數(shù)的個(gè)位與十位的數(shù)字加起來(lái)，如果能被3整除，那么這個(gè)數(shù)字也是3的倍數(shù)。5的倍數(shù)更好找了，凡是個(gè)位數(shù)字是5或0的，都是5的倍數(shù)。而在5的倍數(shù)里面，可以排除掉個(gè)位是0的，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)就是個(gè)位上是0、2、4、6、8的，都是2的倍數(shù)。2的倍數(shù)里面已經(jīng)包括了個(gè)位是0的情況，所以可以暫且不說(shuō)5的倍數(shù)里面?zhèn)€位是0的情況。
但是，除此之外，難道其它的數(shù)都是質(zhì)數(shù)嗎？我覺(jué)得不是，因?yàn)?×7=49，所以49除了1和49，還有因數(shù)7，類似的數(shù)字還有77和91。
展開(kāi)全文
我驚奇地發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)數(shù)其實(shí)都是7的倍數(shù)，那么，我們判斷100以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只要看它是否是2、3、5、7的倍數(shù)就可以了。那有人可能會(huì)問(wèn)100以內(nèi)的自然數(shù)為什么只看是否是這4個(gè)數(shù)的倍數(shù)呢？10以下的數(shù)字難道不應(yīng)該都要除一遍嗎？其實(shí)不用，一個(gè)數(shù)如果是4、6、8，10的倍數(shù)，那么這些數(shù)就一定是2的倍數(shù)。一個(gè)數(shù)如果是6和9的倍數(shù)，那么它就一定也是3的倍數(shù)，所以我們就可以暫且不去管它們。
這樣就可以快速判斷100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)與合數(shù)了。
我們的思涵同學(xué)和寒的想法是一樣的，他在自己的文章中總結(jié)到：你只要記住這四個(gè)數(shù)的倍數(shù)規(guī)律，就可以判定它是質(zhì)數(shù)了。
如下圖：（2 的倍數(shù)：紅色；3的倍數(shù)：藍(lán)色；5的倍數(shù)：綠色；7的倍數(shù)：紫色。2、3、5、7除外，它們都是質(zhì)數(shù)，用黑色表示。）
質(zhì)數(shù)順口溜
百內(nèi)質(zhì)數(shù)來(lái)巧記，
偶數(shù)除2是合數(shù)，
末尾是5好搶眼，
除5本身是合數(shù)，
其它數(shù)字來(lái)相加，
和能除3是合數(shù)，
除此之外要注意，
1，77，91，49是特例。返回搜狐，查看更多
責(zé)任編輯：
平臺(tái)聲明：該文觀點(diǎn)僅代表作者本人，搜狐號(hào)系信息發(fā)布平臺(tái)，搜狐僅提供信息存儲(chǔ)空間服務(wù)。
閱讀 ()
推薦閱讀